Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 1\) và \(x = 3\) \(f\left( x \right) = \left\{

Câu hỏi số 396954:

Vận dụng

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 1\) và \(x = 3\)

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {2x + 3} - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\,\,\,khi\,\,x \ge - \dfrac{3}{2},\,\,x \ne 1,\,\,x \ne 3\\\,\,\,\,\,\,\, - \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396954

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \left[ { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\) và \(x = 1,\,\,x = 3 \in D\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} + )\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {2x + 3} - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {2x + 3} - x} \right) = \sqrt 5 - 1 > 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,x > 1 \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 < 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \end{array}\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\sqrt {2x + 3} - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {2x + 3} - x} \right) = \sqrt 5 - 1 > 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,x < 1 \Rightarrow {x^2} - 4x + 3 > 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty \end{array}\)

Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\). Suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại \(x = 1\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {2x + 3} - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{2x + 3 - {x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x + 3} + x} \right)}} = - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

\(f\left( 3 \right) = - \dfrac{1}{3}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = - \dfrac{1}{3}\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x = 3\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.