Cho tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài tất cả các cạnh cùng bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài tất cả các cạnh cùng bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).
Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:
Tính độ dài \(OA\).
Đáp án đúng là: B
Sử dụng tích chất trọng tâm và định lí Pytago.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).
Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên \(BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow BO = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vì \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(AO \bot \left( {BCD} \right)\) \( \Rightarrow AO \bot OB\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAB\) ta có:
\(OA = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: B
Tính góc giữa \(AB\) và mặt đáy.
Đáp án đúng là: A
Phương pháp xác định góc giữa đường và mặt.
Bước 1: Tìm giao điểm \(d \cap \left( P \right) = B\) (đỉnh góc)
Bước 2: Từ \(A \in d\), dựng \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\). Nối \(HB\).
Suy ra \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \(\left( P \right)\).
Bước 3: Vậy \(\left[ {\widehat {d;\left( P \right)}} \right] = \widehat {\left( {AB;HB} \right)} = \widehat {ABH}\).
Ta có: \(AB \cap \left( {BCD} \right) = \left\{ B \right\}\) và \(AO \bot \left( {BCD} \right)\).
Do đó \(OB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) lên \(\left( {BCD} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left[ {AB;\left( {BCD} \right)} \right]} = \widehat {\left( {AB;OB} \right)} = \widehat {ABO}\).
Xét \(\Delta ABO\) vuông tại \(O\): \(\cos \widehat {ABO} = \dfrac{{BO}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow \widehat {ABO} = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = {54^0}44'\).
Đáp án cần chọn là: A
Tính góc giữa \(AO\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Phương pháp xác định góc giữa đường và mặt.
Bước 1: Tìm giao điểm \(d \cap \left( P \right) = B\) (đỉnh góc)
Bước 2: Từ \(A \in d\), dựng \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\). Nối \(HB\).
Suy ra \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \(\left( P \right)\).
Bước 3: Vậy \(\left[ {\widehat {d;\left( P \right)}} \right] = \widehat {\left( {AB;HB} \right)} = \widehat {ABH}\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), kẻ \(OH \bot AN\).
Vì \(BC \bot ON,\,\,BC \bot OA\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {OAN} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot OH\).
Vì \(OH \bot AN,\,\,OH \bot BC\) \( \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có: \(AO \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ A \right\}\) và \(OH \bot \left( {ABC} \right)\).
Do đó \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(AO\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left[ {AO;\left( {ABC} \right)} \right]} = \widehat {\left( {AO;AH} \right)} = \widehat {OAH} = \widehat {OAN}\).
Xét \(\Delta OAN\) vuông tại \(O\): \(tan\widehat {OAN} = \dfrac{{ON}}{{AO}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\).
\( \Rightarrow \widehat {OAN} = \arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} = {19^0}28'\).
Đáp án cần chọn là: C
Quảng cáo
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
