Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA\)

Câu hỏi số 400765:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a,\,\,AD = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

A. \(d = \dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\)

B. \(d = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\)

C. \(d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

D. \(d = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400765

Phương pháp giải

- Đổi \(d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

- Xác định khoảng cách và sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\), khi đó \(O = AC \cap \left( {SBD} \right)\).

Ta có: \(\dfrac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{CO}}{{AO}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot BD\,\,\left( {H \in CD} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AH\\BD \bot SA\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right)\).

Trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SH\\AK \bot BD\,\,\left( {BD \bot \left( {SAH} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AK\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}}\\\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{4}{{3{a^2}}} = \dfrac{{19}}{{12{a^2}}}\\ \Rightarrow AK = \dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.