Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân với \(BA = BC = a\), \(SA \bot \left( {ABC}

Câu hỏi số 400816:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân với \(BA = BC = a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\).

1. Gọi \(H\) là trung điểm của \(SB\). Chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

2. Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400816

Phương pháp giải

1. Chứng minh \(BC \bot \left( {SAH} \right)\).

Chứng minh \(AH\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \(\left( {SBC} \right)\).

2. Trong \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(AK \bot SC\), chứng minh \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).

Sử dụng định lí: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

1. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Mà \(AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\AH \bot SB\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

2. Trong \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(AK \bot SC\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AH\,\,\left( {AH \bot \left( {SBC} \right)} \right)\\SC \bot AK\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC\\\left( {SBC} \right) \supset HK \bot SC\\\left( {SAC} \right) \supset AK \bot SC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {HK;AK} \right) = \angle AKH\).

Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(AH \bot HK \Rightarrow \Delta AHK\) vuông tại \(H\).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), có \(SA = AB = a\) \( \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\), có \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}}\)\( \Rightarrow AK = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Xét \(\Delta AHK\) vuông tại \(H\) ta có: \(\sin \angle AKH = \dfrac{{AH}}{{AK}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow \angle AHK = {60^0}\).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = {60^0}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.