Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {3;3;2} \right)\),

Câu hỏi số 401999:

Thông hiểu

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1; - 2;0} \right)\), \(B\left( {3;3;2} \right)\), \(C\left( { - 1;2;2} \right)\) và \(D\left( {3;3;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) hạ từ đỉnh \(D\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{9}{{7\sqrt 2 }}\)

B. \(\dfrac{9}{7}\)

C. \(\dfrac{9}{{14}}\)

D. \(\dfrac{9}{{\sqrt 2 }}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:401999

Phương pháp giải

- Lập phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

- Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) hạ từ đỉnh \(D\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) chính là khoảng cách từ \(D\) đến \(\left( {ABC} \right)\).

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;5;2} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;4;2} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 8;18} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 2;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 4;9} \right)\) là 1 VTPT. Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 2} \right) + 9\left( {z - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 4y + 9z - 9 = 0\).

Vậy độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) hạ từ đỉnh \(D\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là:

\(d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3 - 4.3 + 9.1 - 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {9^2}} }} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{{14}} = \dfrac{9}{{7\sqrt 2 }}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.