Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thỏa mãn hệ thức \(2f'\left( {x + \dfrac{\pi }{3}}

Câu hỏi số 402225:

Vận dụng

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thỏa mãn hệ thức

\(2f'\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)f'\left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) + f\left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = f'\left( 0 \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402225

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\) và các biến đổi lượng giác: \( - \sin x = \sin \left( { - x} \right)\), \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin x\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,2f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + f\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\
= - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\
= - \sin \left( {2x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\
= - \cos \left( { - 2x - \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\\
= - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\
f'\left( 0 \right) = - \sin 0 = 0.
\end{array}\)

Vậy \(2f'\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)f'\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + f\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = f'\left( 0 \right)\,\,\,\forall x.\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.