Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào biến:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

\(y = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi:402227

Phương pháp giải

Sử dụng các biến đổi: \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\), \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\).

Giải chi tiết

\(y = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\\{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\end{array}\)

Khi đó ta có: \(y = 3 - \dfrac{3}{2}{\sin ^2}2x - 2 + \dfrac{3}{2}{\sin ^2}2x = 1\).

\( \Rightarrow y' = 1' = 0\,\,\,\forall x\).

\( \Rightarrow \) Điều phải chứng minh.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

\(y = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}{\cos ^4}x + {\sin ^4}x\)

Xem lời giải

Câu hỏi:402228

Phương pháp giải

Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^3}\), sau đó rút gọn biểu thức.

Giải chi tiết

\(y = {\cos ^6}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}{\cos ^4}x + {\sin ^4}x\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = {\cos ^6}x + 3{\sin ^4}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}{\cos ^4}x + {\sin ^6}x - {\sin ^6}x - {\sin ^4}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x\\y = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} + \left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x} \right) - {\sin ^4}x{\cos ^2}x\\y = 1 + {\sin ^4}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - {\sin ^4}x{\cos ^2}x\\y = 1 + {\sin ^4}x{\cos ^2}x - {\sin ^4}x{\cos ^2}x\\y = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow y' = 1' = 0\,\,\,\forall x\)

\( \Rightarrow \) Điều phải chứng minh.

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.