Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), có \(AB = 5cm,\,BC = 12cm.\) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm

Câu hỏi số 402441:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), có \(AB = 5cm,\,BC = 12cm.\) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = BA\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = 4cm.\)

a) Tính độ dài cạnh \(AC.\)

b) Chứng minh \(\Delta EAD\) cân.

c) Tia \(AE\) cắt \(DC\) tại \(K.\) Chứng minh \(K\) là trung điểm của đoạn \(DC.\)

d) Chứng minh: \(AD < 4EK.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402441

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(\Delta ABC\) tại \(B\)để tính độ dài cạnh \(AC\).

b) Chứng minh \(\Delta ABE\, = \,\Delta DBE\) (c.g.c)

c) Tính tỉ số độ dài hai đoạn thẳng \(BE\) và \(BC\). Suy ra \(E\) là trọng tâm của \(\Delta ACD\), chỉ ra \(AK\) cũng là một đường trung tuyến của \(\Delta ACD\). Suy ra \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC.\)

Giải chi tiết

a) Tính độ dài cạnh \(AC.\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B,\)áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\A{C^2} = {5^2} + {12^2}\\A{C^2} = {13^2}\\ \Rightarrow AC = 13\left( {cm} \right)\end{array}\)

b) Chứng minh \(\Delta EAD\) cân.

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE\) có:

\(\begin{array}{l}AB = DB\left( {gt} \right)\\\angle ABE = \angle DBE = {90^0}\\BE\,chung\end{array}\)

Do đó: \(\Delta ABE = \Delta DBE\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow AE = DE\) (hai cạnh tương ứng).

Suy ra: \(\Delta EAD\) cân tại \(E.\)

c) Tia \(AE\) cắt \(DC\) tại \(K\). Chứng minh: \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC.\)

Tỉ số độ dài hai đoạn thẳng \(BE\) và \(BC\) là: \(\frac{4}{{12}} = \frac{1}{3} \Rightarrow BE = \frac{1}{3}BC\)

Xét \(\Delta ACD\) có: \(CB\) là đường trung tuyến có \(BE = \frac{1}{3}BC\)

\( \Rightarrow E\) là trọng tâm của \(\Delta ACD\)

Mà \(E\) là giao điểm của \(BC\)và \(AK\)

\( \Rightarrow AK\) là trung tuyến của \(\Delta ACD\)

Suy ra: \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\).

d) Chứng minh: \(AD < 4EK.\)

Trên tia đối của tia \(KA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(KE = KF\)

Vì \(E\) là trọng tâm của \(\Delta ACD\) và \(AK\) là trung tuyến của \(\Delta ACD\) nên \(AK = 3\,EK\)

\( \Rightarrow AK + KF = 3.EK + EK\) (vì \(KE = KF\))

\( \Rightarrow AF = 4.EK\) (vì \(K\) nằm giữa \(A\) và \(F\))

Ta chứng minh \(AD < AF\)

Xét \(\Delta KEC\) và \(\Delta KFD\) có:

\(KE = KF\left( {gt} \right)\)

\(\angle EKC = \angle FKD\) (đối đỉnh)

\(KD = KC\) (vì \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\))

Do đó: \(\Delta KEC = \Delta KFD\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle KEC = \angle KFD\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow EC//DF\) hay \(BC//DF\) (vì \(E \in BC\))

\(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\BC//DF\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot DF \Rightarrow \angle ADF = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ADF\) vuông tại \(D.\)

Xét \(\Delta ADF\) vuông tại \(D\) có:

\(AD < AF\) (vì \(AF\) là cạnh huyền của tam giác vuông \(ADF\))

\(\begin{array}{l}AF = 4.EK\left( {cmt} \right)\\AD < AF\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow AD < 4\,EK.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link