Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH\). Trên tia đối của tia \(AH\) lấy điểm \(D\) sao

Câu hỏi số 402619:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH\). Trên tia đối của tia \(AH\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AH.\) Gọi \(E\) và \(M\) lần lượt là trung điểm của \(HC\)và \(DC\), gọi \(F\) là giao điểm của \(DE\) và \(AC.\)

a) Chứng minh rằng ba điểm \(H,\,F,\,M\) thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng \(HF = \frac{1}{3}DC\) .

c) Gọi \(P\) là trung điểm \(AH\). Chứng minh \(EP \bot DB\).

d) Chứng minh \(BP \bot DC\) và \(CP \bot DB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402619

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(F\) là trọng tâm của \(\Delta DHC\), khi đó suy ra được \(H,F,M\) cùng nằm trên 1 đường thẳng.

b) Chỉ ra \(HM = \frac{1}{2}DC\), mà \(HM = \frac{3}{2}HF;\) \( \Rightarrow \frac{3}{2}HF = \frac{1}{2}DC \Rightarrow HF = \frac{1}{3}DC.\)

c) Chứng minh \(\Delta PHE = \Delta ICE\)(c.g.c), để chỉ ra \(AP = IC\), \(\angle APC\, = \,\angle PCI\); rồi chứng minh \( \Rightarrow \Delta APC = \Delta ICP\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ACP = \angle IPC \Rightarrow PE//AC\)

Mà \(AB \bot AC \Rightarrow PE \bot AB\).

d) Chứng minh: \(P\) là trực tâm của \(\Delta BDC\)\( \Rightarrow CP \bot BD\).

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta DHC\) có hai đường trung tuyến \(CA\) và \(DE\) cắt nhau tại \(F\)

\( \Rightarrow F\) là trọng tâm của \(\Delta DHC\).

Mà \(HM\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow F\, \in \,HM\)

Hay ba điểm \(H,\,F,\,M\) thẳng hàng.

b) \(\Delta DHC\) vuông tại \(H\) có \(HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DC\).

\( \Rightarrow HM = \frac{1}{2}DC\).

Mà \(HM = \frac{3}{2}HF \Rightarrow \frac{3}{2}HF = \frac{1}{2}DC \Rightarrow HF = \frac{1}{3}DC.\)

c) Trên tia đối của tia \(EP\) lấy điểm \(I\) sao cho \(EP = EI\)

Xét \(\Delta PHE\) và \(\Delta ICE\) có:

\(\begin{array}{l}EH = EC\\EP = EI\end{array}\)

\(\angle PEH = \angle IEC\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta PHE = \Delta ICE\)(c.g.c)

\( \Rightarrow PH = IC = AP\)

Và \(\angle PHE = \angle ECI \Rightarrow AH//IC \Rightarrow \angle APC = \angle PCI\,\,\left( {so\,le\,trong} \right)\)

Xét \(\Delta APC\,\) và \(\Delta ICP\) có:

\(\begin{array}{l}PC\,chung\\AP = IC\\\angle APC = \angle PCI\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta APC = \Delta ICP\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ACP = \angle IPC \Rightarrow PE//AC\)

Mà \(AB \bot AC \Rightarrow PE \bot AB\).

d) Chứng minh \(BP \bot DC\)

Xét \(\Delta ABE\) có hai đường cao \(AH\) cắt \(EP\) tại \(P\)

\( \Rightarrow P\) là trực tâm của \(\Delta ABE\)

\( \Rightarrow BP \bot AE\) mà \(AE//DC\)
\( \Rightarrow BP \bot DC\)

Xét \(\Delta BDC\) có hai đường cao \(DH\) cắt \(BP\) tại \(P\)

\( \Rightarrow P\) là trực tâm của \(\Delta BDC\)

\( \Rightarrow CP \bot BD\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link