Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) , có \(AB = 5cm,\,AC = 13cm.\) a) Tính độ dài cạnh \(BC\) và so sánh

Câu hỏi số 402694:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) , có \(AB = 5cm,\,AC = 13cm.\)

a) Tính độ dài cạnh \(BC\) và so sánh các góc của tam giác \(ABC\).

b) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AD.\) Chứng minh \(\Delta ACD\) cân.

c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD.\) Đường thẳng \(AM\) cắt \(BC\) tại \(G.\)

Tính độ dài đoạn thẳng \(GB\).

d) Qua \(M\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) , cắt cạnh \(AC\) tại \(N\). Chứng minh ba điểm \(D,G,N\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402694

Phương pháp giải

a) Tính \(BC\). Sau đó so sánh các đoạn thẳng của tam giác \(ABC\). Sau đó so sánh các góc, dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

b) Chứng minh \(BC\) là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến suy ra \(\Delta DCA\) cân tại \(C\).

c) Chứng minh \(G\) là trọng tâm của \(\Delta DCA\)\( \Rightarrow GB = \frac{1}{3}BC = 4\).

d) Chứng minh \(DN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ACD\), từ đó suy ra \(D,G,N\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:

\(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) (định lý Pytago)

\( \Rightarrow BC = 12cm\)

Có \(AC > BC > AB\)

\( \Rightarrow \angle ABC > \angle BAC > \angle BCA\) (định lý)

b) Xét \(\Delta DCA\) có:

\(BC\) là đường cao \(\left( {\angle CBA = {{90}^0}} \right)\)

\(BC\) đồng thời là đường trung tuyến ( \(B\) là trung điểm của \(AD\)).

\( \Rightarrow \Delta DCA\) cân tại \(C\) (định lý)

c) Xét \(\Delta DCA\) có:

\(CB\) là đường trung tuyến (\(B\) là trung điểm của \(AD\))

\(AM\) là đường trung tuyến (\(M\) là trung điểm của \(CD\))

\(AM \cap CB = \left\{ G \right\}\)

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta DCA\) (định lý)

\( \Rightarrow GB = \frac{1}{3}BC = 4\).

d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(BC\).

Xét \(\Delta DCB\) vuông tại \(B\) có:

\(BM\)là đường trung tuyến

\( \Rightarrow BM = MC = MD\) (định lý).

\( \Rightarrow \Delta MBC\) cân tại \(M.\)

Mà \(MI\) là đường cao:

\( \Rightarrow MI\) đồng thời là đường trung trực của \(BC\).

\( \Rightarrow NC = NB\) (định lý).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:

\(\angle BCA + \angle BAC = {90^0}\)

Mà \(\angle CBN + \angle NBA = {90^0}\)

\(\angle NCB = \angle NBC\) (do \(\Delta CNB\) cân tại \(N\))

\( \Rightarrow \angle NBA = \angle NAB\)

\( \Rightarrow \Delta ANB\) cân tại \(N\).

\( \Rightarrow NB = NA\)

Mà \(NC = NB\)

\( \Rightarrow CN = NA\)

\( \Rightarrow DN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ACD\)

Mà \(DG\) là đường trung tuyến của \(\Delta ACD\) (\(G\) là trọng tâm).

\( \Rightarrow D,G,N\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link