Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\,\,\,\left( C \right)\). Có bao nhiêu điểm M trên đường thẳng \(y = 2\) mà

Câu hỏi số 403938:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\,\,\,\left( C \right)\). Có bao nhiêu điểm M trên đường thẳng \(y = 2\) mà từ đó kẻ được đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\).

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403938

Phương pháp giải

+ Gọi \(M\left( {m;2} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = 2.\)

+ Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {m;2} \right)\) và có hệ số góc \(k\).

+ \(d\) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) phải có nghiệm.

+ Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Tìm điều kiện để phương trình đó có 3 nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

+ Gọi \(M\left( {m;2} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = 2.\)

+ PTĐT \(d\) đi qua \(M\left( {m;2} \right)\) và có hệ số góc \(k\) là: \(y = k\left( {x - m} \right) + 2\)

+ \(d\) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) hệ phương trình sau phải có nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = k\left( {x - m} \right) + 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 3 = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - m} \right) + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x = 3{x^3} - 3x - 3m{x^2} + 3m + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3m{x^2} + 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + 1} \right) - 3m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 3m\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} + 2x + 2 - 3mx + 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {2{x^2} + \left( {2 - 3m} \right)x + 3m + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\2{x^2} + \left( {2 - 3m} \right)x + 3m + 2 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\) ta cần \(\left( 3 \right)\) có đúng hai nghiệm phân biệt. Khi đó \(\left( 3 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - 3m} \right)^2} - 8\left( {3m + 2} \right) > 0\\2 - 2 + 3m + 3m + 2 \ne 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12m + 4 - 24m - 16 > 0\\6m + 2 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 36m - 12 > 0\\m \ne - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{6 + 4\sqrt 3 }}{3}\\m < \dfrac{{6 - 4\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\\m \ne - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{6 - 4\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{{6 + 4\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{3}} \right\}\end{array}\)

Kết luận: Vậy có vô số điểm M thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.