Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right).\) Viết phương trình tiếp tuyến của

Câu hỏi số 403937:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right).\) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai trên mặt phẳng tọa độ.

A. \(y = - x + 4 + 2\sqrt 2 \) hoặc \(y = - x + 4 - 2\sqrt 2 \).

B. \(y = - x - 4 - 2\sqrt 2 \).

C. \(y = - x - 4 + 2\sqrt 2 \).

D. \(y = - x - 4 + 2\sqrt 2 \) hoặc \(y = - x - 4 - 2\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403937

Phương pháp giải

+ Đường phân giác của góc phần tư thứ hai trên mặt phẳng tọa độ là \(y = - x\).

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

+ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) song song với đường thẳng \(y = - x\) khi \(y = k'\left( {{x_0}} \right) = - 1\).

+ Giải phương trình tìm \({x_0}\), từ đó viết phương trình tiếp tuyến.

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

+ Gọi\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \) là tiếp tuyến cần tìm.

+ Hệ số góc của \(\Delta \) là: \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{x_0^2 + 2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)

+ Đường phân giác của góc phần tư thứ hai trên mặt phẳng tọa độ là \(y = - x\).

+ Vì \(\Delta \) song song với đường thẳng \(y = - x\) nên \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = - 1\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x_0^2 + 2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = - 1 \Leftrightarrow x_0^2 + 2{x_0} = - {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x_0^2 + 2{x_0} = - x_0^2 - 2{x_0} - 1\\ \Leftrightarrow 2x_0^2 + 4{x_0} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2}\\{x_0} = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

+ \({x_0} = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{ - 6 + 3\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow PTTT:y = - \left( {x - \dfrac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{2}} \right) + \dfrac{{ - 6 + 3\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow y = - x - 4 + 2\sqrt 2 \)

+ \({x_0} = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{ - 6 - 3\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow PTTT:y = - \left( {x - \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{2}} \right) + \dfrac{{ - 6 - 3\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow y = - x - 4 - 2\sqrt 2 \)

Kết luận: \(y = - x - 4 + 2\sqrt 2 \) hoặc \(y = - x - 4 - 2\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.