Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của

Câu hỏi số 403941:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\), biết tiếp tuyến cắt hai trục \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A,\,\,B\) phân biệt sao cho \(\Delta OAB\) cân tại \(O\).

A. \(y = - x\) hoặc \(y = - x + 2\)

B. \(y = - x\) hoặc \(y = - x - 2\)

C. \(y = x\) hoặc \(y = x - 2\)

D. \(y = x\) hoặc \(y = x + 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403941

Phương pháp giải

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{a + 2}}{{2a + 3}}} \right)\) với \(a \ne - \dfrac{3}{2}\) là điểm thuộc đồ thị.

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.

+ Tìm giao điểm của đường thẳng tiếp tuyến với các trục tọa độ.

+ Tính độ dài OA, OB và giải phương trình OA = OB.

Giải chi tiết

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{a + 2}}{{2a + 3}}} \right)\) với \(a \ne - \dfrac{3}{2}\) là điểm thuộc đồ thị.

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\)có dạng:

\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{2a + 3}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{2a + 3}}\)

+ Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{2a + 3}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - x + a + \left( {a + 2} \right)\left( {2a + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - x + a + 2{a^2} + 3a + 4a + 6 = 0\\ \Leftrightarrow x = 2{a^2} + 8a + 6\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Ox = A\left( {2{a^2} + 8a + 6;0} \right)\)

+ Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{a}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{a + 2}}{{2a + 3}}\).

\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{a + \left( {2a + 3} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{a^2} + 8a + 6}}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{2{a^2} + 8a + 6}}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}}} \right)\)

Do \(A \ne B\) nên \(2{a^2} + 8a + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne - 1\\a \ne - 3\end{array} \right.\).

Theo gỉa thiết \( \Rightarrow OA = OB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {2{a^2} + 8a + 6} \right| = \left| {\dfrac{{2{a^2} + 8a + 6}}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2{a^2} + 8a + 6} \right| = \dfrac{{\left| {2{a^2} + 8a + 6} \right|}}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {2{a^2} + 8a + 6} \right|.\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{a^2} + 8a + 6 = 0\,\,\,\left( {Loai} \right)\\{\left( {2a + 3} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a + 3 = 1\\2a + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

+ Với \(a = - 1\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = - \left( {x + 1} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow y = - x.\)

+ Với \(a = - 2\) suy ra PTTT \(y = - \left( {x + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow y = - x - 2.\)

Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(y = - x\) hoặc \(y = - x - 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.