Cho hàm số\(y = \dfrac{{2x}}{{x - 2}}\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

Câu hỏi số 403942:

Vận dụng

Cho hàm số\(y = \dfrac{{2x}}{{x - 2}}\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\), biết tiếp tuyến cắt hai trục \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A,\,\,B\) phân biệt sao cho \(\Delta OAB\) thỏa mãn \(AB = OA\sqrt 2 \).

A. \(y = - x + 8\)

B. \(y = - x - 8\)

C. \(y = x + 8\)

D. \(y = x - 8\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403942

Phương pháp giải

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a - 2}}} \right)\) với \(a \ne 2\) là điểm thuộc đồ thị.

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.

+ Tìm giao điểm của đường thẳng tiếp tuyến với các trục tọa độ.

+ Tính độ dài OA, AB và giải phương trình \(AB = OA\sqrt 2 .\)

Giải chi tiết

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a - 2}}} \right)\) với \(a \ne 2\) là điểm thuộc đồ thị.

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) có dạng:

\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a - 2}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a - 2}}\)

+ Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a - 2}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4x + 4a + 2a\left( {a - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 4x + 4a + 2{a^2} - 4a = 0\\ \Leftrightarrow 4x = 2{a^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Ox = A\left( {\dfrac{{{a^2}}}{2};0} \right)\)

+ Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{{4a}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{2a}}{{a - 2}}\).

\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{4a + 2a\left( {a - 2} \right)}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}} \right)\)

Do \(A \ne B\) nên \(2{a^2} \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 0\).

Theo gỉa thiết \( \Rightarrow AB = \sqrt 2 OA\) \( \Leftrightarrow A{B^2} = 2O{A^2}\) \( \Leftrightarrow O{A^2} + O{B^2} = 2O{A^2}\) \( \Leftrightarrow O{A^2} = O{B^2}\) \( \Leftrightarrow OA = OB\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\dfrac{{{a^2}}}{2}} \right| = \left| {\dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}} \right|\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow {a^2}\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} = 0\,\,\,\left( {Loai} \right)\\\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 2\\a - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \(a = 4\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y = - \left( {x - 4} \right) + 4\)\( \Leftrightarrow y = - x. + 8\)

Kết luận: Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(y = - x + 8\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.