Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x + 2}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

Câu hỏi số 403973:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x + 2}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\), biết khoảng cách từ điểm \(I\left( { - 2;2} \right)\) đến tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất.

A. \(y = x\) hoặc \(y = x - 8\).

B. \(y = x\) hoặc \(y =- x + 8\).

C. \(y = -x\) hoặc \(y = x + 8\).

D. \(y = x\) hoặc \(y = x + 8\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403973

Phương pháp giải

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a + 2}}} \right)\) với \(a \ne - 2\) là điểm thuộc đồ thị.

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.

+ Tính khoảng cách từ \(I\left( { - 2;2} \right)\) đến tiếp tuyến, sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\) là: \(d\left( {I;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

+ Tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a + 2}}} \right)\) với \(a \ne - 2\) là điểm thuộc đồ thị.

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\)có dạng:

\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a + 2}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{4}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a}}{{a + 2}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4x - 4a + 2a\left( {a + 2} \right) - {\left( {a + 2} \right)^2}y = 0\\ \Leftrightarrow 4x - {\left( {a + 2} \right)^2}y + 2{a^2} = 0\,\,\,\left( \Delta \right)\end{array}\)

+ Ta có:

\(\begin{array}{l}d\left( {I;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 8 - {{\left( {a + 2} \right)}^2}.2 + 2{a^2}} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^4}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left| { - 8a - 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^4}} }} = \dfrac{{8\left| {a + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^4}} }}\end{array}\)

Ta có: \(16 + {\left( {a + 2} \right)^4} \ge 2\sqrt {16.{{\left( {a + 2} \right)}^4}} = 8{\left( {a + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^4}} \ge 2\sqrt 2 \left| {a + 2} \right|\).

\( \Rightarrow d\left( {I;\Delta } \right) \le \dfrac{{8\left| {a + 2} \right|}}{{2\sqrt 2 \left| {a + 2} \right|}} = 2\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = 2\\a + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 4\end{array} \right.\).

+ \(a = 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến \(4x - 4y = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

+ \(a = - 4\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến \(4x - 4y + 32 = 0 \Leftrightarrow x - y + 8 = 0\)

Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(y = x\) hoặc \(y = x + 8\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.