Cho hàm số\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ

Câu hỏi số 403972:

Vận dụng

Cho hàm số\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\), biết tiếp tuyến cắt hai trục \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A,\,\,B\) phân biệt sao cho \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{2}{3}\) và tiếp điểm có hoành độ nguyên.

A. \(y = - 3x - 2\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\).

B. \(y = - 3x - 2\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}\).

C. \(y = 3x - 2\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\).

D. \(y = - 3x + 2\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403972

Phương pháp giải

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}} \right)\) với \(a \ne 1,\,\,a \in \mathbb{Z}\) là điểm thuộc đồ thị.

+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.

+ Tìm giao điểm của đường thẳng tiếp tuyến với các trục tọa độ.

+ Tính độ dài OA, OB. Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB\).

Giải chi tiết

+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}} \right)\) với \(a \ne 1,\,\,a \in \mathbb{Z}\) là điểm thuộc đồ thị.

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\)có dạng:

\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\)

+ Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3\left( {x - a} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 3x + 3a + {a^2} + a - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3x = {a^2} + 4a - 2\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Ox = A\left( {\dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{3};0} \right)\)

+ Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{{3a}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y = \dfrac{{3a + \left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right)}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right)\)

Do \(A \ne B\) nên \({a^2} + 4a - 2 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne - 2 \pm \sqrt 6 \).

Theo giả thiết ta có: \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow OA.OB = \dfrac{4}{3}.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{3}} \right|.\left| {\dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right| = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{a^2} + 4a - 2} \right)}^2}}}{{3{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + 4a - 2} \right)^2} = 4{\left( {a - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 4a - 2 - 2a + 2} \right)\left( {{a^2} + 4a - 2 + 2a - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 2a} \right)\left( {{a^2} + 6a - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = - 3 + \sqrt {13} \,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = - 3 - \sqrt {13} \,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \(a = 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến \(y = - 3x - 2\).

+ Với \(a = - 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến \( \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{3}\left( {x + 2} \right)\) \( \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\).

Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(y = - 3x - 2\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.