Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; các cạnh bên của hình chóp cùng

Câu hỏi số 404785:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; các cạnh bên của hình chóp cùng bằng \(a\sqrt 3 \).

a) Chứng minh rằng \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (P).

c) Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404785

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên bằng nhau nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

a) Vì ABCD là hình vuông nên \(AC \bot BD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Trong (SAC) kẻ \(AM \bot SC\,\,\left( {M \in SC} \right)\) \( \Rightarrow AM \subset \left( P \right)\).

Trong (SAC) gọi \(AM \cap SO = H\).

Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SC\).

Mà \(\left( P \right) \bot SC \Rightarrow BD\parallel \left( P \right)\).

Xét (P) và (SBD) có:

H là điểm chung

\(BD \subset \left( {SBD} \right),\,\,BD\parallel \left( P \right)\)

\( \Rightarrow \) Giao tuyến (P) và (SBD) là đường thẳng đi qua H và song song với BD.

Trong (SBD) qua H kẻ NP // BD \(\left( {N \in SD,\,\,P \in SA} \right)\).

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (P) là tứ giác ANMP.

c) Trong (SAC) kẻ \(OK \bot AM\,\,\left( {K \in AM} \right)\).

Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\,\left( {cmt} \right),\,\,\)\(BD\parallel \left( P \right)\) \( \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( {SAC} \right)\\\left( P \right) \cap \left( {SAC} \right) = AM\\OK \subset \left( {SAC} \right),\,\,OK \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( P \right)\).

Hạ \(BQ \bot \left( P \right)\) ta có: \(OB\parallel PN\,\,\,\left( {do\,\,BD\parallel PN} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( P \right)} \right) = d\left( {O;\left( P \right)} \right) \Rightarrow BQ = OK\).

\( \Rightarrow \) AQ là hình chiếu của AB lên (P) \( \Rightarrow \angle \left( {AB;\left( P \right)} \right) = \angle \left( {AB;AQ} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot \left( P \right)\\SC \bot \left( P \right)\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OK\parallel SC \Rightarrow OK\parallel CM\).

Lại có O là trung điểm của AC nên suy ra K là trung điểm của AM (định lí đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow OK\) là đường trung bình của tam giác AMC \( \Rightarrow OK = \dfrac{1}{2}MC\).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác SAC ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle SCA = \dfrac{{A{C^2} + S{C^2} - S{A^2}}}{{2AC.SC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{a^2} + 3{a^2} - 3{a^2}}}{{2.a\sqrt 2 .a\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array}\)

Xét tam giác vuông AMC có: \(MC = AC.\cos \angle SCA = a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 6 }}{6} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\( \Rightarrow OK = \dfrac{1}{2}MC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} = PQ\).

Ta có \(BQ \bot \left( P \right) \Rightarrow BQ \bot AQ\) \( \Rightarrow \Delta ABQ\) vuông tại Q.

\( \Rightarrow \sin \angle BAQ = \dfrac{{BQ}}{{AB}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \(\angle BAQ \approx {16^0}47'\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.