Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng a, gọi O là tâm của đáy ABCD. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng ?

Câu 405353: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng a, gọi O là tâm của đáy ABCD. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng ?

A. \(\dfrac{{3a}}{2}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Câu hỏi : 405353

Phương pháp giải:

- Gọi M là trung điểm của BC, trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).

- Áp dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow OM\parallel AB\), mà \(AB \bot BC\) \( \Rightarrow OM \bot BC\) và \(OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right)\).

Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {O \in SM} \right)\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\\OH \bot SM\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).

Tam giác SBC đều cạnh a nên \(SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOM có: \(SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM có: \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{SM}} = \dfrac{{\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.