Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 2}}\)có đồ thị (C) và hai đường thẳng d1: \(x = 2\), d2:\(y =

Câu hỏi số 405357:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 2}}\)có đồ thị (C) và hai đường thẳng d₁: \(x = 2\), d₂:\(y = 2\). Tiếp tuyến bất kì của (C) cắt d₁và d₂ lần lượt tại A và B. Khi AB có độ dài nhỏ nhất thì tổng các hoành độ tiếp điểm bằng:

A. -3

B. -2

C. 1

D. 4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405357

Phương pháp giải

- Gọi \(M\left( {{x_0};\dfrac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}} \right) \in \left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại M.

- Tìm giao điểm của (d) với \(\left( {{d_1}} \right)\) và của (d) với \(\left( {{d_2}} \right)\).

- Tính độ dài đoạn thẳng AB: \(A{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2}\).

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số a, b không âm: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};\dfrac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}} \right) \in \left( C \right)\), phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

\(y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}\,\,\left( d \right)\).

Cho \(x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( {2 - {x_0}} \right) + \dfrac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}\)

\( \Rightarrow y = \dfrac{1}{{{x_0} - 2}} + \dfrac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}} = \dfrac{{2{x_0} - 2}}{{{x_0} - 2}}\)

\( \Rightarrow d \cap {d_1} = A\left( {2;\dfrac{{2{x_0} - 2}}{{{x_0} - 2}}} \right)\)

Cho \(y = 2\) \( \Rightarrow 2 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = - \left( {x - {x_0}} \right) + \left( {2{x_0} - 3} \right)\left( {{x_0} - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2x_0^2 - 8{x_0} + 8 = - x + {x_0} + 2x_0^2 - 7{x_0} + 6\\ \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 2\end{array}\)

\( \Rightarrow d \cap {d_2} = B\left( {2{x_0} - 2;2} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {2{x_0} - 4} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{2{x_0} - 2}}{{{x_0} - 2}} - 2} \right)^2}\\A{B^2} = {\left( {2{x_0} - 4} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{2{x_0} - 2 - 2{x_0} + 4}}{{{x_0} - 2}}} \right)^2}\\A{B^2} = 4{\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + \dfrac{4}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\\A{B^2} \ge 4.2\sqrt {{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}} = 8\\ \Rightarrow AB \ge 2\sqrt 2 \end{array}\)

\( \Rightarrow A{B_{\min }} = 2\sqrt 2 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^4} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = 1\\{x_0} - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tổng hoành độ các tiếp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.