Cho hình chóp S.ABC có đáy \(\Delta ABC\) cân tại A, \(AB = AC = a,\) \(\widehat {BAC} = {120^0}\). SA vuông
Cho hình chóp S.ABC có đáy \(\Delta ABC\) cân tại A, \(AB = AC = a,\) \(\widehat {BAC} = {120^0}\). SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính góc giữa:
a) (SAB) và (SAC)
b) (SBC) và (ABC)
c) (SBC) và (SAC)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
a) (SAB) và (SAC)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\\AB \subset \left( {SAB} \right);\,\,AB \bot SA\\AC \subset \left( {SAC} \right);\,\,AC \bot SA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right] = \angle \left( {AB;AC} \right) = 180^0 - 120^0 = {60^0}\).
b) (SBC) và (ABC)
+ Gọi M là trung điểm của BC, tam giác ABC cân tại A \( \Rightarrow AM \bot BC\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA\).
+ Tam giác ABC cân tại A có \(\angle BAC = {120^0} \Rightarrow \angle ABM = {30^0}\).
Xét tam giác vuông ABM có: \(AM = AB.\sin {30^0} = \dfrac{a}{2}\).
Xét tam giác vuông SAM có: \(\tan \angle SMA = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{a}{{\dfrac{a}{2}}} = 2\).
\( \Rightarrow \angle SMA = \arctan 2\).
Vậy \(\angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = \arctan 2\).
c) (SBC) và (SAC)
Trong (ABC) kẻ \(BH \bot AC\,\,\left( {H \in AC} \right)\). Trong (SBC) kẻ \(BK \bot SC\,\,\left( {K \in SC} \right)\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot SC\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SC\\BK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC\\BK \subset \left( {SBC} \right);\,\,BK \bot SC\\HK \subset \left( {SAC} \right);\,\,HK \bot SC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SAC} \right)} \right] = \angle \left( {BK;HK} \right) = \angle BKH\).
+ Do \(BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot HK\) \( \Rightarrow \Delta BHK\) vuông tại H.
+ Do \(\angle BAC = {120^0} \Rightarrow \angle BAH = {60^0}\). Xét tam giác vuông ABH có: \(BH = AB.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago và định lí Cosin trong tam giác ta có:
\(\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \\SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \\BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {{120}^0}} = a\sqrt 3 \end{array}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - SB} \right)\left( {p - BC} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\) với \(p = \dfrac{{a\sqrt 2 + a\sqrt 2 + a\sqrt 3 }}{2}\) là nửa chu vi tam giác SBC.
\( \Rightarrow BK = \dfrac{{2{S_{\Delta SBC}}}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{4}\).
+ Xét tam giác vuông BHK có: \(\sin \angle BKH = \dfrac{{BH}}{{BK}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}:\dfrac{{a\sqrt {30} }}{4} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).
\( \Rightarrow \angle BKH = \arcsin \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Vậy \(\angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SAC} \right)} \right] = \arcsin \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
