Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AC, AB. Biết \(\Delta ABC\) đều cạnh a, \(AD = a\sqrt 3 \).

Câu hỏi số 406011:

Vận dụng

Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AC, AB. Biết \(\Delta ABC\) đều cạnh a, \(AD = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa:

a) (BAD) và (CAD)

b) (BCD) và (ABC)

c) (BCD) và (ACD)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406011

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

a) (BAD) và (CAD)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BAD} \right) \cap \left( {CAD} \right) = AD\\AB \subset \left( {BAD} \right);\,\,AB \bot AD\\AC \subset \left( {CAD} \right);\,\,AC \bot AD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {BAD} \right);\left( {CAD} \right)} \right] = \angle \left( {AB;AC} \right) = \angle BAC = {60^0}\).

b) (BCD) và (ABC)

+ Gọi M là trung điểm của BC, tam giác ABC đều \( \Rightarrow AM \bot BC\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow BC \bot DM\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\DM \subset \left( {BCD} \right),\,\,DM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {BCD} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = \angle \left( {DM;AM} \right) = \angle DMA\).

+ Tam giác ABC đều cạnh a \( \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ Xét tam giác vuông ADM: \(\tan \angle DMA = \dfrac{{AD}}{{AM}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2\).

Vậy \(\angle \left[ {\left( {BCD} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = \arctan 2\).

c) (BCD) và (ACD)

Gọi N là trung điểm của AC \( \Rightarrow BN \bot AC\). Trong (BCD) kẻ \(BH \bot CD\,\,\left( {H \in CD} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BN \bot AC\\BN \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow BN \bot \left( {ACD} \right)\) \( \Rightarrow BN \bot CD\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BN \bot CD\\BH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BNH} \right) \Rightarrow CD \bot NH\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCD} \right) \cap \left( {ACD} \right) = CD\\BH \subset \left( {BCD} \right);\,\,BH \bot CD\\BH \subset \left( {ACD} \right);\,\,NH \bot CD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {BCD} \right);\left( {ACD} \right)} \right] = \angle \left( {BH;NH} \right) = \angle BHN\).

+ \(BN \bot \left( {ACD} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BN \bot NH\) \( \Rightarrow \Delta BHN\) vuông tại N.

+ Tam giác ABC đều cạnh a \( \Rightarrow BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ \(\Delta CNH \sim \Delta CDA\,\,\left( {g.g} \right)\) (do có \(\angle C\) chung và \(\angle CHN = \angle CAD = {90^0}\))

\( \Rightarrow \dfrac{{NH}}{{AD}} = \dfrac{{CN}}{{CD}} \Rightarrow NH = \dfrac{{AD.CN}}{{CD}} = \dfrac{{a\sqrt 3 .a}}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ Xét tam giác vuông BHN có: \(\tan \angle BHN = \dfrac{{BN}}{{NH}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}:\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = 1\).

\( \Rightarrow \angle BHN = {45^0}\).

Vậy \(\angle \left[ {\left( {BCD} \right);\left( {ACD} \right)} \right] = {45^0}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.