Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA vuông góc với đáy, SB tạo với đáy

Câu hỏi số 406012:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA vuông góc với đáy, SB tạo với đáy góc 60°. Tính góc giữa:

a) (SAB) và (SCD)

b) (SCD) và (ABCD)

c) (SBC) và (SAD)

d) (SBD) và (SAB)

e) (SBD) và (SBC)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406012

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.

Giải chi tiết

a) (SAB) và (SCD)

+ \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của SB lên (ABCD) \( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).

+ Xét tam giác vuông SAB: \(SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).

\(\begin{array}{l} + \,\,\,\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx\parallel AB\parallel CD\\ + \,\,\,\left( {SAB} \right):\,\,SA \bot Sx\,\,\left( {do\,\,SA \bot AB,\,\,AB\parallel Sx} \right)\\ + \,\,\,\left( {SCD} \right):\,\,SD \bot Sx\,\,\left( {do\,\,CD \bot AD,\,\,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot SD,\,\,CD\parallel Sx} \right)\\ \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right] = \angle \left( {SA;SD} \right) = \angle DSA\end{array}\)

\(\tan \angle DSA = \dfrac{{AD}}{{AS}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \angle DSA = {30^0}\)

b) (SCD) và (ABCD)

+ Ta có: \(CD \bot AD,\,\,CD \bot SA\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\).

\(\begin{array}{l} + \,\,\,\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\ + \,\,\,SD \subset \left( {SCD} \right),\,\,SD \bot CD\\ + \,\,\,AD \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AD \bot CD\\ \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right] = \widehat {\left( {SD;AD} \right)} = \widehat {SDA}\\ + \,\,\,\tan \angle SDA = \dfrac{{SA}}{{AD}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \\ \Rightarrow \angle SDA = {60^0}\end{array}\)

c) (SBC) và (SAD)

\(\begin{array}{l} + \,\,\,\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Sy\parallel AD\parallel BC\\ + \,\,\,\left( {SBC} \right):\,\,SB \bot Sy\,\,\left( {do\,\,BC \bot AB,\,\,BC\parallel SA \Rightarrow BC \bot SB,\,\,BC\parallel Sy} \right)\\ + \,\,\,\left( {SAD} \right):\,\,SA \bot Sy\,\,\left( {do\,\,SA \bot AD,\,\,AD\parallel Sy} \right)\\ \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SAD} \right)} \right] = \angle \left( {SB;SA} \right) = \angle BSA = {30^0}\end{array}\)

d) (SBD) và (SAB)

Trong (SAC) kẻ \(AK \bot SO\,\,\left( {K \in SO} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SO\\AK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBD} \right);\left( {SAB} \right)} \right] = \angle \left( {AK;AD} \right)\).

+ \(AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AK \bot DK \Rightarrow \Delta ADK\) vuông tại K \( \Rightarrow \angle \left( {AK;AD} \right) = \angle KAD\).

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAO có:

\(\begin{array}{l}AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\AK = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\end{array}\).

+ Xét tam giác vuông AHK có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle KAD = \dfrac{{AK}}{{AD}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}:a = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\\ \Rightarrow \angle KAD = \arccos \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}.\end{array}\)

e) (SBD) và (SBC)

Trong (SBD) kẻ \(AH \bot SB\), trong (SAC) kẻ \(AK \bot SO\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot AH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SO\\AK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SBD} \right)} \right] = \angle \left( {AH;AK} \right)\).

+ \(AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AK \bot HK \Rightarrow \Delta AHK\) vuông tại K \( \Rightarrow \angle \left( {AH;AK} \right) = \angle HAK\).

+ Xét tam giác vuông ABH có: \(AH = AB.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ Xét tam giác vuông AHK có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle HAK = \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}:\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}\\ \Rightarrow \angle HAK = \arccos \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}.\end{array}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.