Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính

Câu hỏi số 406013:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính góc giữa:

a) (SBC) và (ABCD)

b) (SCD) và (ABCD)

c) (SBC) và (SCD)

d) (SAB) và (SCD)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406013

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

a) (SBC) và (ABCD)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \subset \left( {SBC} \right);\,\,SB \bot BC\\AB \subset \left( {ABCD} \right);\,\,AB \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA\).

+ \(\tan \angle SBA = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{a}{a} = 1 \Rightarrow \angle SBA = {45^0}\).

b) (SCD) và (ABCD)

+ Ta có: \(CD \bot AD,\,\,CD \bot SA\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\).

\(\begin{array}{l} + \,\,\,\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\ + \,\,\,SD \subset \left( {SCD} \right),\,\,SD \bot CD\\ + \,\,\,AD \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AD \bot CD\\ \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SD;AD} \right) = \angle SDA\\ + \,\,\,\tan \angle SDA = \dfrac{{SA}}{{AD}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle SDA = \arctan \dfrac{1}{2}\end{array}\)

c) (SBC) và (SCD)

+ Trong (SAB) dựng \(AH \bot SB\,\,\,\left( {H \in SB} \right)\), trong (SAD) dựng \(AK \bot SD\,\,\left( {K \in SD} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

+ CMTT ta có \(AK \bot \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {\left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right]} = \widehat {\left( {AH;AK} \right)}\).

+ \(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(AK = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

+ \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 \), \(SD = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \) , \(BD = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).

+ \(\cos \widehat {BSD} = \dfrac{{S{B^2} + S{D^2} - B{D^2}}}{{2SB.SD}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

+ \(\Delta SHK:\) \(H{K^2} = S{H^2} + S{K^2} - 2SH.SK.\cos \widehat {BSD}\)

\(\begin{array}{l}SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\SK = \sqrt {S{A^2} - A{K^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{4{a^2}}}{5}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow H{K^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{5} - 2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{{\sqrt {10} }}{{10}}\\ \Rightarrow H{K^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

+ \(\Delta AHK:\)

\(\begin{array}{l}\cos \widehat {HAK} = \dfrac{{A{H^2} + A{K^2} - H{K^2}}}{{2AH.AK}}\\\cos \widehat {HAK} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {\left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right]} = \arccos \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

d) (SAB) và (SCD)

+ (SAB) và (SCD) có điểm S chung, AB // CD nên cắt nhau theo giao tuyến Sx // AB // CD.

+ \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\). Mà \(CD\parallel Sx \Rightarrow SD \bot Sx\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx\\SA \subset \left( {SAB} \right);\,\,SA \bot Sx\\SD \subset \left( {SCD} \right);\,\,SD \bot Sx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right] = \angle \left( {SA;SD} \right) = \angle ASD\).

+ \(\tan \angle ASD = \dfrac{{AD}}{{SA}} = \dfrac{{2a}}{a} = 2\) \( \Rightarrow \angle ASD = \arctan 2\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.