Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính

Câu hỏi số 406013:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính góc giữa:

a) (SBC) và (ABCD)

b) (SCD) và (ABCD)

c) (SBC) và (SCD)

d) (SAB) và (SCD)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:406013

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

a) (SBC) và (ABCD)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \subset \left( {SBC} \right);\,\,SB \bot BC\\AB \subset \left( {ABCD} \right);\,\,AB \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA\).

+ \(\tan \angle SBA = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{a}{a} = 1 \Rightarrow \angle SBA = {45^0}\).

b) (SCD) và (ABCD)

+ Ta có: \(CD \bot AD,\,\,CD \bot SA\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\).

\(\begin{array}{l} + \,\,\,\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\ + \,\,\,SD \subset \left( {SCD} \right),\,\,SD \bot CD\\ + \,\,\,AD \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AD \bot CD\\ \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SD;AD} \right) = \angle SDA\\ + \,\,\,\tan \angle SDA = \dfrac{{SA}}{{AD}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \angle SDA = \arctan \dfrac{1}{2}\end{array}\)

c) (SBC) và (SCD)

+ Trong (SAB) dựng \(AH \bot SB\,\,\,\left( {H \in SB} \right)\), trong (SAD) dựng \(AK \bot SD\,\,\left( {K \in SD} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

+ CMTT ta có \(AK \bot \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {\left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right]} = \widehat {\left( {AH;AK} \right)}\).

+ \(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(AK = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

+ \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 \), \(SD = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \) , \(BD = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).

+ \(\cos \widehat {BSD} = \dfrac{{S{B^2} + S{D^2} - B{D^2}}}{{2SB.SD}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

+ \(\Delta SHK:\) \(H{K^2} = S{H^2} + S{K^2} - 2SH.SK.\cos \widehat {BSD}\)

\(\begin{array}{l}SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\SK = \sqrt {S{A^2} - A{K^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{4{a^2}}}{5}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow H{K^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{5} - 2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{{\sqrt {10} }}{{10}}\\ \Rightarrow H{K^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

+ \(\Delta AHK:\)

\(\begin{array}{l}\cos \widehat {HAK} = \dfrac{{A{H^2} + A{K^2} - H{K^2}}}{{2AH.AK}}\\\cos \widehat {HAK} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {\left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right]} = \arccos \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

d) (SAB) và (SCD)

+ (SAB) và (SCD) có điểm S chung, AB // CD nên cắt nhau theo giao tuyến Sx // AB // CD.

+ \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\). Mà \(CD\parallel Sx \Rightarrow SD \bot Sx\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx\\SA \subset \left( {SAB} \right);\,\,SA \bot Sx\\SD \subset \left( {SCD} \right);\,\,SD \bot Sx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right] = \angle \left( {SA;SD} \right) = \angle ASD\).

+ \(\tan \angle ASD = \dfrac{{AD}}{{SA}} = \dfrac{{2a}}{a} = 2\) \( \Rightarrow \angle ASD = \arctan 2\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.