Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. SA = a và vuông góc với đáy.

Câu hỏi số 407946:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. SA = a và vuông góc với đáy. Tính:

a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}}\)

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}}\)

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}}\)

A. a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = a\).

B. a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \frac{{2a}}{3}\).

C. a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \frac{{2a}}{3}\).

D. a) \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

b) \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

c) \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \frac{{a}}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407946

Phương pháp giải

a) Trong (SAB) kẻ \(AH \bot SB\) \(\left( {H \in SB} \right)\). Chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AH.

b) Trong (SAD) kẻ \(AK \bot SD\) \(\left( {K \in SD} \right)\). Chứng minh \(AK \bot \left( {SCD} \right)\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AK.

c) Trong (ABCD) kẻ \(AE \bot BD\,\,\left( {E \in BD} \right)\). Trong (SAE) kẻ \(AI \bot SE\,\,\left( {I \in SE} \right)\). Chứng minh \(AI \bot \left( {SBD} \right)\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AI.

Giải chi tiết

a) Trong (SAB) kẻ \(AH \bot SB\) \(\left( {H \in SB} \right)\).

+ \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = AH\end{array}\)

+ \(\Delta SAB\) vuông cân tại A, có SA = AB = a \( \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SBC} \right)} \right]}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

b) Trong (SAD) kẻ \(AK \bot SD\) \(\left( {K \in SD} \right)\).

+ \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SD\\AK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = AK\end{array}\)

+ \(\Delta SAD\): \(AK = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SCD} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

c) Trong (ABCD) kẻ \(AE \bot BD\,\,\left( {E \in BD} \right)\). Trong (SAE) kẻ \(AI \bot SE\,\,\left( {I \in SE} \right)\).

+ \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AE\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BD \bot AI\\\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BD\\AI \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SBD} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = AI\).

+ \(\Delta ABD:\) \(AE = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

+ \(\Delta SAE\): \(AI = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{2a}}{3}\).

Vậy \({d_{\left[ {A;\left( {SBD} \right)} \right]}} = \dfrac{{2a}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.