Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = 2a. Gọi I là trung điểm của AC. Hình chiếu

Câu hỏi số 408272:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = 2a. Gọi I là trung điểm của AC. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thỏa mãn \(\overrightarrow {BI} = 3\overrightarrow {IH} \). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \({60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABC là:

A. \(\dfrac{{8{a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{8{a^3}}}{9}\)

C. \(\dfrac{{4{a^3}}}{9}\)

D. \(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:408272

Phương pháp giải

- Dựng \(AM \bot SB\), chứng minh \(CM \bot SB\) và xác định góc giữa (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính AM, CM, sử dụng định lí Cosin trong tam giác.

- Đặt \(SH = x\), tính SA, SB theo x.

- Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SAB tìm x theo a.

- Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Tam giác ABC vuông cân tại B nên BI là đường trung trực của AC.

Có \(H \in BI\) nên \(HA = HC\).

Xét \(\Delta SHA\) và \(\Delta SHC\) có: \(\angle SHA = \angle SHC = {90^0}\), SH chung, HA = HC.

\( \Rightarrow \Delta SHA = \Delta SHC\) (2 cạnh góc vuông) \( \Rightarrow SA = SC\).

\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SCB\,\,\left( {c.c.c} \right)\).

Trong (SAB) kẻ \(AM \bot SB\). Suy ra \(CM \bot SB\) (hai chiều cao tương ứng của 2 tam giác bằng nhau).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\AM \subset \left( {SAB} \right),\,\,AM \bot SB\\CM \subset \left( {SBC} \right),\,\,CM \bot SB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {AM;CM} \right) = {60^0}\).

Nếu \(\angle AMC = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta ACM\) đều \( \Rightarrow AM = AC > AB\) (mâu thuẫn dó AM là đường vuông góc, AB là đường xiên) \( \Rightarrow \angle AMC = {120^0}\).

Tam giác ABC vuông cân tại B có AB = 2a \( \Rightarrow AC = 2a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác AMC có:

\(\begin{array}{l}\cos {120^0} = \dfrac{{A{M^2} + M{C^2} - A{C^2}}}{{2.AM.MC}}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2A{M^2} - 8{a^2}}}{{2A{M^2}}}\\ \Leftrightarrow - A{M^2} = 2A{M^2} - 8{a^2}\\ \Leftrightarrow 3A{M^2} = 8{a^2}\\ \Leftrightarrow A{M^2} = \dfrac{{8{a^2}}}{3} \Rightarrow AM = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3} = CM\end{array}\)

Tam giác ABC vuông cân tại B \( \Rightarrow BI = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.2a\sqrt 2 = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow IH = \dfrac{1}{3}BI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có: \(AH = \sqrt {A{I^2} + I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{3}\).

Đặt \(SH = x\) ta có: \(SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{20{a^2}}}{9}} \).

\(BH = BI + IH = a\sqrt 2 + \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{4a\sqrt 2 }}{3}\) \( \Rightarrow SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{32{a^2}}}{9}} \).

Xét tam giác vuông AMB có: \(\sin \angle ABM = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}:2a = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\) \( \Rightarrow \cos \angle ABM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SAB ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle ABM = \dfrac{{A{B^2} + S{B^2} - S{A^2}}}{{2AB.SB}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{4{a^2} + {x^2} + \dfrac{{32{a^2}}}{9} - {x^2} - \dfrac{{20{a^2}}}{9}}}{{2.2a.\sqrt {{x^2} + \dfrac{{32{a^2}}}{9}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{\dfrac{{16{a^2}}}{3}}}{{2.2a.\sqrt {{x^2} + \dfrac{{32{a^2}}}{9}} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 = \dfrac{{4a}}{{\sqrt {{x^2} + \dfrac{{32{a^2}}}{9}} }}\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + \dfrac{{32{a^2}}}{9}} \right) = 16{a^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} = \dfrac{{16{a^2}}}{3}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{16{a^2}}}{9} \Leftrightarrow x = \dfrac{{4a}}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow SH = \dfrac{{4a}}{3}\).

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.{\left( {2a} \right)^2} = 2{a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{4a}}{3}.2{a^2} = \dfrac{{8{a^3}}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.