Xét các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + b\).

Câu 412928: Xét các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + b\).

A. \({P_{\min }} = - 1 + 2\sqrt 5 \)

B. \({P_{\min }} = 2 + \sqrt 5 \)

C. \({P_{\min }} = - 1 + \sqrt 5 \)

D. \({P_{\min }} = 1 + 2\sqrt 5 \)

Câu hỏi : 412928

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi điều kiện đã cho về dạng: \({\log _2}\left[ {2\left( {1 - ab} \right)} \right] + 2\left( {1 - ab} \right)\)\( = {\log _2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)\)

- Rồi sử dụng phương pháp hàm số để suy ra điều kiện của a, b.

- Từ đó đánh giá GTNN của P.

Đáp án : C
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - ab} \right) - {\log _2}\left( {a + b} \right) = a + b - 2\left( {1 - ab} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - ab} \right) + 1 + 2\left( {1 - ab} \right) = a + b + {\log _2}\left( {a + b} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 - ab} \right) + {\log _2}2 + 2\left( {1 - ab} \right) = {\log _2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2\left( {1 - ab} \right)} \right] + 2\left( {1 - ab} \right) = {\log _2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2\left( {1 - ab} \right)} \right) = f\left( {a + b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\left( {1 - ab} \right) = a + b\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow a + b + 2ab - 2 = 0\end{array}\)

Theo bđt Cô si ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \Rightarrow ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = a + b + 2ab - 2\\ \le a + b + 2.{\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} - 2\\ \Leftrightarrow 0 \le a + b + \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} - 2\\ \Rightarrow 0 \le P + \dfrac{{{P^2}}}{2} - 2\\ \Leftrightarrow {P^2} + 2P - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge - 1 + \sqrt 5 \\P \le - 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\end{array}\)

Dễ thấy \(P = a + b > 0\) nên \(P \ge - 1 + \sqrt 5 \)

Vậy \({P_{\min }} = - 1 + \sqrt 5 \) khi \(a = b = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.