Tìm \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + x + 1\) nghịch biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\)?

Câu 413020: Tìm \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + x + 1\) nghịch biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\)?

A. \(m \ge - \dfrac{{13}}{2}\)

B. \(m \le - \dfrac{{13}}{2}\)

C. \(m \le - \dfrac{{13}}{4}\)

D. \(m \ge - \dfrac{{13}}{4}\)

Câu hỏi : 413020

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2; - 1} \right]} g\left( x \right)\).

- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\) và kết luận.

Đáp án : C
(17) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx + 1\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 1 \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2mx \ge 3{x^2} + 1\,\,\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le \dfrac{{3{x^2} + 1}}{x}\,\,\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2; - 1} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} + 1}}{x}\) \(\forall x \in \left( { - 2; - 1} \right)\).

\(g'\left( x \right) = \dfrac{{6x.x - 3{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\), \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

BBT:

\( \Rightarrow 2m \le -\dfrac{{13}}{2} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{{13}}{4}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.