Cho hai điểm \(M\left( {3;1;1} \right);\)\(N\left( {4;3;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 421943:

Vận dụng cao

Cho hai điểm \(M\left( {3;1;1} \right);\)\(N\left( {4;3;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\dfrac{{x - 7}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 9}}{1}\). Biết điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) sao cho \(IM + IN\) đạt giá trị nhỏ nhất . Tính \(S = 2a + b + 3c\).

A. \(36\)

B. \(38\)

C. \(42\)

D. \(40\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421943

Phương pháp giải

Tham số hóa tọa độ điểm I, thay vào biểu thức \(IM + IN\) và đánh giá GTNN của biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có : \(\left( d \right):\dfrac{{x - 7}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 9}}{1}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3 - 2t\\z = 9 + t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)

Điểm \(I \in d \Leftrightarrow I\left( {7 + t;3 - 2t;9 + t} \right)\).

Khi đó ta có :

\(\begin{array}{l}MI = \sqrt {{{\left( {4 + t} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( {8 + t} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 16t + 84} \\NI = \sqrt {{{\left( {3 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {5 + t} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 16t + 34} \\ \Rightarrow IM + IN = \sqrt {6{t^2} + 16t + 84} + \sqrt {6{t^2} + 16t + 34} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {6\left( {{t^2} + \dfrac{8}{3}t + \dfrac{{16}}{9}} \right) + \dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {6\left( {{t^2} + \dfrac{8}{3}t + \dfrac{{16}}{9}} \right) + \dfrac{{70}}{3}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {6{{\left( {t + \dfrac{4}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {6{{\left( {t + \dfrac{4}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{70}}{3}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \sqrt {\dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {\dfrac{{70}}{3}} \\ \Rightarrow {\left( {IM + IN} \right)_{\min }} = \sqrt {\dfrac{{220}}{3}} + \sqrt {\dfrac{{70}}{3}} \end{array}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(t = - \dfrac{4}{3}\)\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{17}}{3};\dfrac{{17}}{3};\dfrac{{23}}{3}} \right)\) \( \Rightarrow a = b = \dfrac{{17}}{3},c = \dfrac{{23}}{3}\).

Vậy \(S = 2a + b + 3c\)\( = 2.\dfrac{{17}}{3} + \dfrac{{17}}{3} + 3.\dfrac{{23}}{3} = 40\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.