Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tâm \(O.\) Mặt bên \(\left( {SAB}

Câu hỏi số 430245:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tâm \(O.\) Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác đều, góc \(\angle SAD = {90^0}.\) Gọi \(Dx\) là đường thẳng qua \(D\) và song song với \(SC.\)

a) Tìm giao điểm \(I\) của \(Dx\) và \(\left( {SAB} \right).\)

b) Tìm thiết diện của hình chóp với \(\left( {AIC} \right).\) Tính diện tích thiết diện đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430245

Giải chi tiết

a) Chọn \(Dx \subset \left( {SCD} \right)\), tìm \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \supset AB;\,\,\left( {SCD} \right) \supset CD\\AB\parallel CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sy\parallel AB\parallel CD\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(I = Sy \cap Dx\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I \in Dx\\I \in Sy \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = Dx \cap \left( {SAB} \right)\).

b) Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(E = IC \cap SD\), khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {AIC} \right)\) là tam giác \(AEC\).

Xét tứ giác \(SCDI\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}SC\parallel DI\\SI\parallel CD\end{array} \right. \Rightarrow SCDI\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(CI\) và \(SD\).

Tam giác \(SAB\) đều có \(AB = a \Rightarrow SA = AB = SB = a\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có \(AE\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

\( \Rightarrow AE = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \).

Tương tự ta chứng minh được \(SBAI\) là hình bình hành nên \(AI = SB = a\).

Xét tam giác \(AIC\) có trung tuyến \(AE\), ta có:

\(\begin{array}{l}A{E^2} = \dfrac{{A{I^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{I{C^2}}}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^2} + 2{a^2}}}{2} - \dfrac{{I{C^2}}}{4}\\ \Rightarrow I{C^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow IC = 2a \Rightarrow EC = a\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Nửa chu vi tam giác \(AEC\) là \(p = \dfrac{{\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} + a + a\sqrt 2 }}{2} = a\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4} + \dfrac{1}{2}} \right)\)

Vậy \({S_{EAC}} = \sqrt {p\left( {p - AE} \right)\left( {p - EC} \right)\left( {p - AC} \right)} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{8}\) (Công thức Hê-rông)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.