Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D',\) cạnh \(a.\) Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của

Câu hỏi số 430246:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D',\) cạnh \(a.\) Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(A'B',C'B',CC',AA'.\)

a) Chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình thang cân.

b) Tính chu vi và diện tích tứ giác \(MNPQ\) theo \(a.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430246

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(A'B'C'\) \( \Rightarrow MN//A'C'\).

Dễ thấy \(A'C'PQ\) là hình bình hành nên \(PQ//A'C'\).

Do đó \(MN//PQ\) nên \(MNPQ\) là hình thang.

Xét \({\Delta _v}A'QM\) và \({\Delta _v}C'PN\) có:

\(\begin{array}{l}A'M = C'N\\A'Q = C'P\end{array}\)

\( \Rightarrow {\Delta _v}A'QM = {\Delta _v}C'PN\) (2 cạnh góc vuông).

\( \Rightarrow QM = PN\).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = QM\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = PN\\\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = BB'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow QM,\,\,PN,\,\,BB'\) đồng quy, nên \(QM,\,\,PN\) không song song.

Vậy \(MNPQ\) là hình thang cân.

b) Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(A'C' = a\sqrt 2 \).

Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(A'B'C'\) nên \(MN = \dfrac{1}{2}A'C' = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(A'C'PQ\) là hình bình hành nên \(PQ = A'C' = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'QM\) ta có:

\(QM = \sqrt {A'{M^2} + A'{Q^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Kẻ \(MH \bot PQ,\,\,NK \bot PQ\,\,\left( {H,\,\,K \in PQ} \right)\), dễ dàng nhận thấy \(MNKH\) là hình chữ nhật, do đó \(HK = MN = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta QMH\) và \(\Delta PNK\) có:

\(\begin{array}{l}\angle MHQ = \angle NKP = {90^0}\\MQ = NP\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\(\angle MQH = \angle NPK\) (do \(MNPQ\) là hình thang cân).

\( \Rightarrow \Delta QMH = \Delta PNK\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow QH = KP\).

Lại có \(QH + KP = PQ - MN = a\sqrt 2 - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow QH = KP = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(MHQ\) ta có:

\(MH = \sqrt {M{Q^2} - Q{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{8}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

Vậy \({C_{MNPQ}} = MN + 2MQ + PQ = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} + 2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{2}\)

\({S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}MH.\left( {MN + PQ} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 } \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{8}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.