Cho các hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm trên hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh \(AB.\)

Câu hỏi số 430354:

Vận dụng

Cho các hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm trên hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh \(AB.\) Trên các đường chéo \(AC,BF\) theo thứ tự lấy các điểm \(M,N\) sao cho \(MC = 2AM,NF = 2BN.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD\) tại \(H,\) qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AF\) tại \(K.\) Chứng minh:

a) \(MN\parallel DE\)

b) \(\left( {MNKH} \right)\parallel \left( {DEF} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430354

Giải chi tiết

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), \(O,\,\,O'\) lần lượt là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\).

Ta có: \(MC = 2MA \Rightarrow MA = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{2}{3}AO\).

Xét tam giác \(ABD\) có \(AO\) là đường trung tuyến, \(AM = \dfrac{2}{3}AO\).

\( \Rightarrow M\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).

\( \Rightarrow D,\,\,M,\,\,I\) thẳng hàng và \(\dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{1}{3}\).

CMTT ta có \(E,\,\,N,\,\,I\) thẳng hàng và \(\dfrac{{IN}}{{IE}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{{IN}}{{IE}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow MN\parallel DE\) (Định lí Ta-lét đảo).

b) \(MN\parallel DE\), mà \(DE \subset \left( {DEF} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {DEF} \right)\).

Áp dụng định lí Ta –lét ta có: \(\dfrac{{AH}}{{AD}} = \dfrac{{IM}}{{ID}} = \dfrac{1}{3};\,\,\dfrac{{AK}}{{AF}} = \dfrac{{BN}}{{BF}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AD}} = \dfrac{{AK}}{{AF}} \Rightarrow HK\parallel DF\) (Định lí Ta – lét đảo).

Mà \(DF \subset \left( {DEF} \right) \Rightarrow KH\parallel \left( {DEF} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel \left( {DEF} \right)\\KH\parallel \left( {DEF} \right)\\MN \cap KH \subset \left( {MNKH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNKH} \right)\parallel \left( {DEF} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.