Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm

Câu hỏi số 430356:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SB,SD.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(\left( {AMN} \right)\) với \(SC.\) Trong \(\left( {SAC} \right),\) vẽ đường thẳng qua \(O\) và song song với \(AK,\) cắt \(SC\) tại \(I.\)

a) Xác định giao điểm \(K\)

b) Chứng minh \(MN\parallel \left( {ABCD} \right)\)

c) Chứng minh \(\left( {IBD} \right)\parallel \left( {AMN} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430356

Phương pháp giải

a) Tìm giao tuyến của \(\left( {AMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\), giao điểm của giao tuyến đó với SC là điểm K cần tìm.

b) Chứng minh \(MN\) song song với một đường nằm trong mặt \(ABCD\).

c) Sử dụng định lí: Nếu mặt phẳng \((P)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng \((Q)\) thì \((P)\\(Q)\).

Giải chi tiết

a) Chọn \(SC \subset \left( {SAC} \right)\), tìm giao tuyến của \(\left( {AMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

+ \(A\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(E = MN \cap SO\), ta có:

\(\begin{array}{l}E \in MN \subset \left( {AMN} \right) \Rightarrow E \in \left( {AMN} \right)\\E \in SO \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow E \in \left( {SAC} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow E \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) \Rightarrow E\) là điểm chung thứ hai.

\( \Rightarrow \left( {AMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = AE\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(K = AE \cap SC\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}K \in SC\\K \in AE \subset \left( {AMN} \right) \Rightarrow K \in \left( {AMN} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow K = SC \cap \left( {AMN} \right)\).

b) Ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SBD \Rightarrow MN\parallel BD\).

Mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {ABCD} \right)\).

c) \(MN\parallel BD\), mà \(BD \subset \left( {IBD} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {IBD} \right)\).

Lại có \(AK\parallel OI\,\,\left( {gt} \right),\,\,OI \subset \left( {IBD} \right) \Rightarrow AK\parallel \left( {IBD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel \left( {IBD} \right)\\AK\parallel \left( {IBD} \right)\\MN \cap AK \subset \left( {AMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AMN} \right)\parallel \left( {IBD} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.