Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AD\parallel BC,AD > BC} \right).\) Gọi \(M\)

Câu hỏi số 430357:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AD\parallel BC,AD > BC} \right).\) Gọi \(M\) là trọng tâm \(\Delta SAD\,\,;\,\,N\) thuộc đoạn \(AC\) sao cho \(NA = \dfrac{1}{2}NC\) và \(P\) thuộc đoạn \(CD\) sao cho \(PD = \dfrac{1}{2}PC.\) Chứng minh rằng:

a) \(MN\parallel \left( {SBC} \right)\)

b) \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:430357

Giải chi tiết

a) Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\).

Chọn \(MN \subset \left( {SEN} \right)\), ta tìm giao tuyến của \(\left( {SEN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(F = EN \cap BC\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}F \in EN \subset \left( {SEN} \right)\\F \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {SEN} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow F\) là điểm chung thứ hai.

\( \Rightarrow \left( {SEN} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\).

Do \(AD\parallel BC \Rightarrow AE\parallel BF\), áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{EN}}{{EF}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{1}{3}\).

Lại có \(M\) là trọng tâm tam giác \(SAD \Rightarrow \dfrac{{EM}}{{ES}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{EF}} = \dfrac{{EM}}{{ES}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow MN\parallel SF\) (Định lí Ta-lét đảo).

Mà \(SF \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow MN\parallel \left( {SBC} \right)\).

b) Ta có: \(\dfrac{{AN}}{{NC}} = \dfrac{{PD}}{{PC}} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow NP\parallel AD\) (Định lí Ta-lét đảo).

Mà \(AD\parallel BC \Rightarrow MN\parallel BC\), lại có \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow NP\parallel \left( {SBC} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel \left( {SBC} \right)\\NP\parallel \left( {SBC} \right)\\MN \cap NP \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.