Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AB//CD} \right)\), \(AB = 3a\), \(AD = CD =

Câu hỏi số 435919:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang \(\left( {AB//CD} \right)\), \(AB = 3a\), \(AD = CD = a\). Mặt bên \(SAB\) là tam giác cân đỉnh \(S\) và \(SA = 2a\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( {SAB} \right)\) cắt các cạnh \(AD,\,\,BC,\,\,SC,\,\,SD\) theo thứ tự tại \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\).

a) Chứng minh \(MN//\left( {SCD} \right)\).

b) Đặt \(x = AM\,\,\left( {0 < x < a} \right)\). Tính chu vi \(MNPQ\) theo \(x,\,\,a\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435919

Giải chi tiết

a) Lấy \(M \in AD\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(MN//AB\,\,\left( {N \in BC} \right)\), trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(MQ//SA\,\,\left( {Q \in SD} \right)\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ \(QP//CD//AB\,\,\left( {P \in SC} \right)\).

Khi đó ta xác định được các điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AB//CD\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {SCD} \right)\).

b) Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\dfrac{{MQ}}{{SA}} = \dfrac{{DM}}{{DA}} \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{2a}} = \dfrac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow MQ = 2\left( {a - x} \right)\).

\(\begin{array}{l}\dfrac{{DQ}}{{DS}} = \dfrac{{DM}}{{DA}} = \dfrac{{a - x}}{a} \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{SD}} = 1 - \dfrac{{DQ}}{{DS}} = \dfrac{x}{a} = \dfrac{{QP}}{{CD}}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{{QP}}{a} \Leftrightarrow QP = x\end{array}\)

Vì \(\Delta SAB\) cân tại \(S \Rightarrow SA = SB = 2a\).

Tiếp tục ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{PN}}{{SB}} = \dfrac{{CP}}{{CS}} = \dfrac{{DQ}}{{DS}} = \dfrac{{a - x}}{a}\\ \Rightarrow \dfrac{{PN}}{{2a}} = \dfrac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow PN = 2\left( {a - x} \right)\end{array}\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) goji \(MN \cap AC = \left\{ E \right\}\), áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\dfrac{{ME}}{{CD}} = \dfrac{{AM}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{{ME}}{a} = \dfrac{x}{a} \Leftrightarrow ME = x\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{EN}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CB}} = \dfrac{{DM}}{{DA}}\\ \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{3a}} = \dfrac{{a - x}}{a} \Leftrightarrow EN = 3\left( {a - x} \right)\\ \Rightarrow MN = ME + EN = x + 3a - 3x = 3a - 2x\end{array}\)

Vậy chu vi tứ giác \(MNPQ\) là:

\(\begin{array}{l}{C_{MNPQ}} = MN + NP + PQ + MQ\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3a - 2x + 2a - 2x + x + 2a - 2x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 7a - 5x\end{array}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.