Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy nào là cấp số cộng? Hãy chứng minh, tìm

Câu hỏi số 435971:

Thông hiểu

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy nào là cấp số cộng? Hãy chứng minh, tìm số hạng đầu và công sai d của mỗi CSC tìm được.

a) \({u_n} = \dfrac{{1 - 2n}}{5}\)

b) \({u_n} = {n^2} + 3\)

c) \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{n}\)

d) \({u_n} = {\left( {2n + 3} \right)^2} - {\left( {1 - 2n} \right)^2}\)

e) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\,\,\,\left( {n \ge 1} \right)\)

f) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = 1 + {u_{n - 1}}\,\,\left( {n \ge 2} \right)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435971

Giải chi tiết

a) \({u_n} = \dfrac{{1 - 2n}}{5}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}{5} - \dfrac{{1 - 2n}}{5} = \dfrac{{1 - 2n - 2 - 1 + 2n}}{5} = \dfrac{{ - 2}}{5}\).

Do \( - \dfrac{2}{5} = const\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = - \dfrac{1}{5}\) và công sai \(d = - \dfrac{2}{5}\).

b) \({u_n} = {n^2} + 3\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 3 - {n^2} - 3 = 2n + 1\).

Do \(2n + 1 \ne const\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là một cấp số cộng.

c) \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{n}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}} - \dfrac{{{3^n}}}{n} = {3^n}\left( {\dfrac{3}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n}} \right) = {3^n}.\dfrac{{3n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = {3^n}.\dfrac{{2n - 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}}\).

Do \({3^n}.\dfrac{{2n - 1}}{{n\left( {n - 1} \right)}} \ne const\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là một cấp số cộng.

d) \({u_n} = {\left( {2n + 3} \right)^2} - {\left( {1 - 2n} \right)^2} = 4{n^2} + 12n + 9 - 4{n^2} + 4n - 1 = 16n + 8\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = 16\left( {n + 1} \right) + 8 - 16n - 8 = 16\).

Do \(16 = const\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 24\) và công sai \(\).

e) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\,\,\,\left( {n \ge 1} \right)\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = n\).

Do \(n \ne const\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là một cấp số cộng.

f) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = 1 + {u_{n - 1}}\,\,\left( {n \ge 2} \right)\end{array} \right.\)

Xét hiệu \({u_n} - {u_{n - 1}} = 1\,\,\forall n \ge 2\).

Do \(1 = const\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 1\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.