Cho ba số \({a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2}\) lập thành CSC có \(d \ne 0\). Chứng minh rằng ba số \(\dfrac{1}{{b

Câu hỏi số 435988:

Vận dụng

Cho ba số \({a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2}\) lập thành CSC có \(d \ne 0\). Chứng minh rằng ba số \(\dfrac{1}{{b + c}},\,\,\dfrac{1}{{c + a}},\,\,\dfrac{1}{{a + b}}\) cũng lập thành một CSC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435988

Giải chi tiết

Vì \({a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2}\) lập thành CSC nên \({a^2} + {c^2} = 2{b^2}\).

Xét tổng: \(\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + b}} = \dfrac{{a + b + b + c}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)}} = \dfrac{{a + 2b + c}}{{ab + ac + {b^2} + bc}}\)

Thay \({b^2} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + b}} = \dfrac{{a + 2b + c}}{{ab + ac + \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} + bc}}\\ = \dfrac{{2\left( {a + c + 2b} \right)}}{{2ab + 2bc + {a^2} + {c^2} + 2ac}} = \dfrac{{2\left( {a + c + 2b} \right)}}{{2b\left( {a + c} \right) + {{\left( {a + c} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {a + c + 2b} \right)}}{{\left( {a + c} \right)\left( {a + c + 2b} \right)}} = \dfrac{2}{{a + c}}\end{array}\)

Vậy ba số \(\dfrac{1}{{b + c}},\,\,\dfrac{1}{{c + a}},\,\,\dfrac{1}{{a + b}}\) cũng lập thành một CSC.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.