Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\), \(M\) là trung

Câu hỏi số 437948:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\), \(M\) là trung điểm của \(AB.\)

a) Chứng minh \(AD//\left( {SBC} \right).\)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng\(\,\left( {SGM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)

c) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(GM\) và song song với \(AC\), \((\alpha )\)cắt \(SD\) tại \(E\). Tính tỉ số \(\dfrac{{SE}}{{SD}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:437948

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí: \(\left\{ \begin{array}{l}a//b\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a//\left( P \right)\) .

b) Mở rộng \(\left( {SMG} \right)\), xác định 2 điểm chung.

c) Xác định điểm \(E\) dựa vào các yếu tố song song.

Sử dụng tính chất hình bình hành và định lí Menelaus trong tam giác để tính tỉ số.

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD//BC\).

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(AD//\left( {SBC} \right)\).

b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow \left( {SMG} \right) \equiv \left( {SMN} \right)\).

Xét \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) có:

+ \(S\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(I = MN \cap AC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow I \in \left( {SMN} \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I \in \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) \Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai.

Vậy \(\left( {SMG} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI\).

c) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ đường thẳng qua \(M\) song song với \(AC\) cắt \(BC,\,\,AD\) lần lượt tại \(H,\,\,K\), khi đó \(HK \subset \left( \alpha \right)\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) nối \(KG\) cắt \(SD\) tại \(E\), khi đó ta có \(E = SD \cap \left( \alpha \right)\).

Xét tứ giác \(AKHC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AK//HC\\AC//HK\end{array} \right. \Rightarrow AKHC\) là hình bình hành.

Xét \(\Delta ABC\) có \(M\) là trung điểm \(AB\), \(MH//AC\) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (định lí đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow AK = HC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD\).

\( \Rightarrow \dfrac{{KA}}{{KD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{KN}}{{KD}} = \dfrac{2}{3}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SND\), cát tuyến \(KGE\) có:

\(\dfrac{{GS}}{{GN}}.\dfrac{{KN}}{{KD}}.\dfrac{{ED}}{{ES}} = 1 \Leftrightarrow 2.\dfrac{2}{3}.\dfrac{{ED}}{{ES}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ED}}{{ES}} = \dfrac{3}{4}\).

Vậy \(\dfrac{{SE}}{{SD}} = \dfrac{4}{7}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.