Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\cot x + \left( {\sqrt

Câu hỏi số 441675:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\cot x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 0\) trên \(\left( {\dfrac{{2\pi }}{5};\dfrac{{22\pi }}{5}} \right)\) là

A. \(5.\)

B. \(10.\)

C. \(9.\)

D. \(8.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:441675

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\).

- Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Giải bất phương trình \(\dfrac{{2\pi }}{5} < x < \dfrac{{22\pi }}{5}\) tìm các số nguyên \(k\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\cot x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 1 + {\cot ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\cot x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\cot ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\cot x + \sqrt 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \sqrt 3 \\\cot x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(x \in \left( {\dfrac{{2\pi }}{5};\dfrac{{22\pi }}{5}} \right)\) nên \(\dfrac{{2\pi }}{5} < \dfrac{\pi }{6} + k\pi < \dfrac{{22\pi }}{5} \Leftrightarrow - \dfrac{{17}}{{30}} < k < \dfrac{{127}}{{30}}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(x \in \left( {\dfrac{{2\pi }}{5};\dfrac{{22\pi }}{5}} \right)\) nên \(\dfrac{{2\pi }}{5} < \dfrac{\pi }{4} + k\pi < \dfrac{{22\pi }}{5} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{20}} < k < \dfrac{{83}}{{20}}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có tất cả 9 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.