Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + +

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 44288:

Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{x^{2}y}{z^{3}}$ + $\frac{y^{2}z}{x^{3}}$ + $\frac{z^{2}x}{y^{3}}$ + $\frac{4xyz}{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}$

A. minP = $\frac{11}{3}$

B. minP = $\frac{15}{3}$

C. minP = $\frac{13}{3}$

D. minP = 1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:44288

Giải chi tiết

Đặt a = $\frac{x}{z}$ ,b = $\frac{y}{x}$ , c = $\frac{z}{y}$ => abc = 1 => a + b + c ≥ 3

P= $\frac{a^{2}}{c}$ + $\frac{b^{2}}{a}$ + $\frac{c^{2}}{b}$ + $\frac{4}{ab+bc+ac}$

Mà a²+ b²≥ 2ac => $\frac{a^{2}}{c}$ ≥ 2a - c

Tương tự $\frac{b^{2}}{a}$ ≥ 2b - a; $\frac{c^{2}}{b}$ ≥ 2c - b.

Mặt khác (a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca)

Nên P ≥ (a + b + c) + $\frace_12e_{{(a + b + c)}^2}$

= $\frac{4}{9}$ (a + b + c) + $\frac{4}{9}$ (a + b + c) + $\frace_12e_{{(a + b + c)}^2}$ + $\frac{1}{9}$ (a + b + c) ≥ 4 + $\frac{1}{3}$ = $\frac{13}{3}$

Vậy minP = $\frac{13}{3}$ xảy ra khi a = b = c = 1 hay x =y = z

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.