Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh

Câu hỏi số 443113:

Vận dụng

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\) và \(BC\); \(P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABP} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện \(ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:443113

Phương pháp giải

a) Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.

b) Xác định thiết diện, chứng minh thiết diện là tam giác cân. Hạ đường cao, sử dụng tính chất tam giác đều, định lí Pytao tính chiều cao và cạnh đáy tương ứng, từ đó tính diện tích tam giác.

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( {ABP} \right)\) và

b) \(\left( {ACD} \right)\) có:

+ \(A\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(Q = BP \cap CD\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}Q \in BP \subset \left( {ABP} \right) \Rightarrow Q \in \left( {ABP} \right)\\Q \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow Q \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow Q \in \left( {ABP} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).

Vậy \(\left( {ABP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AQ\).

b) Vì \(P\) là trọng tâm \(\Delta BCD\), \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(N,\,\,P,\,\,D\) thẳng hàng.

Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\) là tam giác \(MND\).

Xét tam giác \(MND\) ta có \(MN = \dfrac{{AB}}{2} = a\) (do \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)).

\(DM = DN = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (do tam giác \(BCD,\,\,ACD\) đều cạnh \(2a\)) \( \Rightarrow \Delta MND\) cân tại \(D\).

Kẻ \(DH \bot MN\,\left( {H \in MN} \right)\)\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(MN\).

Ta có: \(DH = \sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}\).

Vậy \({S_{MND}} = \dfrac{1}{2}DH.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.