Tìm \(m\) để phương trình \(2\sin x + m\cos x = 1 - m\) có nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi

Câu hỏi số 443114:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) để phương trình \(2\sin x + m\cos x = 1 - m\) có nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).

A. \(m \in \left( { - 1;3} \right)\).

B. \(m \in \left[ { - 1;3} \right]\).

C. \(m \in \left( { - 1;3} \right]\).

\(m \in ( - \infty ; - 1] \cap [3; + \infty )\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:443114

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2}\), tìm điều kiện của \(t\).

- Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\\cos t = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\end{array} \right.\), thay vào phương trình, đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên tập giá trị của \(t\) và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2}\) , với \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \dfrac{x}{2} \in \left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\\cos t = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\end{array} \right.\). Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}2.\dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + m.\dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 1 - m\\ \Leftrightarrow 4t + m\left( {1 - {t^2}} \right) = \left( {1 - m} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4t + m - m{t^2} = 1 - m + {t^2} - m{t^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 = 2m\,\,\,\left( * \right)\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 1\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta có BBT:

Để phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) thì \( - 2 \le 2m \le 6 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3\).

Vậy \(m \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.