Cho hình chóp \(S.ABCD\) có các cạnh bên bằng nhau, đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(AB = 20cm\). Gọi

Câu hỏi số 444285:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có các cạnh bên bằng nhau, đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(AB = 20cm\). Gọi \(M\) là điểm nằm trên cạnh \(SA\) sao cho \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt hình chóp \(S.ABCD\) theo thiết diện là một hình tứ giác có diện tích bằng:

A. \(\dfrac{{80}}{9}c{m^2}\)

B. \(\dfrac{{400}}{9}c{m^2}\)

C. \(\dfrac{{800}}{9}c{m^2}\)

D. \(\dfrac{{1600}}{9}c{m^2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444285

Phương pháp giải

- Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai mặt phẳng đó.

- Từ đó xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( P \right)\).

- Chứng minh thiết diện là hình vuông, tính cạnh của hình vuông nhờ định lí Ta-lét, từ đó tính diện tích thiết diện.

Giải chi tiết

Xét \(\left( P \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}M\,\,chung\\\left( P \right)//AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN//AB\)\(\left( {N \in SB} \right)\).

Xét \(\left( P \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}M\,\,chung\\\left( P \right)//AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SAC} \right) = MP//AC\)\(\left( {P \in SC} \right)\).

Xét \(\left( P \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}P\,\,chung\\\left( P \right)//AB//CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ//CD\)\(\left( {Q \in SD} \right)\).

\( \Rightarrow \) Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) là tứ giác \(MNPQ\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN//PQ//AB\\\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} \Rightarrow MN = PQ\end{array} \right.\)\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow NP//MQ\) và \(MQ//AD\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{MQ}}{{AD}}\), mà \(AB = AD\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(MN = MQ\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\MQ//AD\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot MQ\).

Do đó \(MNPQ\) là hình vuông.

Ta có: \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MN = \dfrac{2}{3}SA = \dfrac{{40}}{3}\,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy \({S_{MNPQ}} = {\left( {\dfrac{{40}}{3}} \right)^2} = \dfrac{{1600}}{9}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.