Giải phương trình \(\sqrt 3 {\cos ^2}x + \sin 2x - \sqrt 3 {\sin ^2}x = 1\).

Câu hỏi số 444287:

Vận dụng

A. \(x = - \dfrac{\pi }{{6}} + k\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

B. \(x = \pm \dfrac{\pi }{6} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

C. \(x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

D. \(x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444287

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2};\,\,{\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\), đưa phương trình về dạng \(A\sin 2x + B\cos 2x = C\).

- Chia cả 2 vế phương trình cho \(\sqrt {{A^2} + {B^2}} \), sau đó sử dụng công thức \(\sin a\cos b + \sin b\cos a = \sin \left( {a + b} \right)\) đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt 3 {\cos ^2}x + \sin 2x - \sqrt 3 {\sin ^2}x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 2x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 + \sqrt 3 \cos 2x + 2\sin 2x - \sqrt 3 + \sqrt 3 \cos 2x = 2\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x + 2\sqrt 3 \cos 2x = 2\\ \Leftrightarrow \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin 2x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 2x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.