Cho \({\left( {x + 2} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\). Tìm \({a_n}\) để \({a_5}:{a_6}

Câu hỏi số 444288:

Vận dụng

Cho \({\left( {x + 2} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\). Tìm \({a_n}\) để \({a_5}:{a_6} = 12:7\).

A. \(4096\).

B. \(2048\).

C. \(1024\).

D. \(512\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444288

Phương pháp giải

Sử dụng nhị thức Niu-tơn \({\left( {x + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{2^k}} \), từ đó xác định hệ số \({a_5};\,\,{a_6}\).

Sử dụng giả thiết \({a_5}:{a_6} = 12:7\) tìm \(n\) Từ đó tính \({a_n}\).

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {x + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{2^k}} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_5} = C_n^5{2^5}\\{a_6} = C_n^6{2^6}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{a_5}}}{{{a_6}}} = \dfrac{{12}}{7} \Leftrightarrow \dfrac{{C_n^5{2^5}}}{{C_n^6{2^6}}} = \dfrac{{12}}{7}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{n!}}{{5!\left( {n - 5} \right)!}}}}{{\dfrac{{n!}}{{6!\left( {n - 6} \right)!2}}}} = \dfrac{{12}}{7}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6!\left( {n - 6} \right)!2}}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} = \dfrac{{12}}{7}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6.2}}{{n - 5}} = \dfrac{{12}}{7} \Leftrightarrow n = 12\end{array}\)

Vậy \(n = 12,\,\,{a_n} = C_n^n{2^n} = C_{12}^{12}{2^{12}} = 4096\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.