Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển \({\left( {\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}}

Câu hỏi số 446987:

Vận dụng

Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển \({\left( {\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}} \right)^{30}}\)?

A. \(6\)

B. \(8\)

C. \(7\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:446987

Phương pháp giải

- Sử dụng khai triển Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).

- Đưa các lũy thừa trong khai triển về dạng có cơ số là số nguyên, tìm điều kiện của \(k\) để số mũ của các lũy thừa là số nguyên.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}} \right)^{30}} = \sum\limits_{k = 0}^{30} {C_{30}^k{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{30 - k}}{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^k}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{k = 0}^{30} {C_{30}^k{2^{15 - \frac{k}{2}}}{3^{\frac{k}{3}}}} \end{array}\)

Để số hạng cần tìm là số nguyên thì \(\left\{ \begin{array}{l}k\,\, \vdots \,\,2\\k\,\, \vdots \,\,3\end{array} \right. \Rightarrow k\,\, \vdots \,\,6\). Lại có \(0 \le k \le 30\) nên \(k \in \left\{ {0;6;12;18;24;30} \right\}\).

Vậy khai triển trên có 6 số hạng là số nguyên.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.