Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({4^{{x^2} + 4{y^2}}} - {2^{{x^2} + 4{y^2} + 1}} = {2^{3 - {x^2} -

Câu hỏi số 447935:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({4^{{x^2} + 4{y^2}}} - {2^{{x^2} + 4{y^2} + 1}} = {2^{3 - {x^2} - 4{y^2}}} - {4^{2 - {x^2} - 4{y^2}}}\). Gọi \(m,\,\,M\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{x - 2y + 1}}{{x + y + 4}}\). Tổng \(M + m\) bằng:

A. \(-\dfrac{36}{{59}}\)

B. \(-\dfrac{18}{{59}}\)

C. \(\dfrac{18}{{59}}\)

D. \(\dfrac{36}{{59}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:447935

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {2^{{x^2} + 4{y^2}}}\,\,\left( {t \ge 1} \right)\), đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm \(t\).

- Tìm mối quan hệ giữa \(x,\,\,y\) dạng \({\left( {ax} \right)^2} + {\left( {by} \right)^2} = 1\).

- Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}ax = \sin \alpha \\by = \cos \alpha \end{array} \right.\), thế vào biểu thức \(P\).

- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng \(A\sin \alpha + B\cos \alpha = C\). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định \(M,\,\,m\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^{{x^2} + 4{y^2}}} - {2^{{x^2} + 4{y^2} + 1}} = {2^{3 - {x^2} - 4{y^2}}} - {4^{2 - {x^2} - 4{y^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^{{x^2} + 4{y^2}}}} \right)^2} - {2.2^{{x^2} + 4{y^2}}} = \dfrac{8}{{{2^{{x^2} + 4{y^2}}}}} - \dfrac{{16}}{{{{\left( {{2^{{x^2} + 4{y^2}}}} \right)}^2}}}\end{array}\)

Đặt \(t = {2^{{x^2} + 4{y^2}}}\,\,\left( {t \ge 1} \right)\), phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 2t = \dfrac{8}{t} - \dfrac{{16}}{{{t^2}}}\\ \Leftrightarrow {t^2} - 2t = \dfrac{{8t - 16}}{{{t^2}}}\\ \Rightarrow {t^3}\left( {t - 2} \right) = 8\left( {t - 2} \right)\\ \Rightarrow \left( {{t^3} - 8} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 2} \right)^2}\left( {{t^2} + 2t + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t = 2\,\,\left( {tm} \right)\,\,\left( {do\,\,{t^2} + 2t + 4 > 0\,\,\forall t} \right)\end{array}\)

Với \({2^{{x^2} + 4{y^2}}} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} = 1\). Khi đó tồn tại \(\alpha \) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sin \alpha \\2y = \cos \alpha \end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x - 2y - 1}}{{x + y + 4}} = \dfrac{{\sin \alpha - \cos \alpha - 1}}{{\sin \alpha + \dfrac{1}{2}\cos \alpha + 4}}\\ \Leftrightarrow P\sin \alpha + \dfrac{1}{2}P\cos \alpha + 4P = \sin \alpha - \cos \alpha - 1\\ \Leftrightarrow \left( {P - 1} \right)\sin \alpha + \left( {\dfrac{1}{2}P + 1} \right)\cos \alpha = - 1 - 4P\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để \(P\) tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {P - 1} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{2}P + 1} \right)^2} \ge {\left( { - 1 - 4P} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {P^2} - 2P + 1 + \dfrac{1}{4}{P^2} + P + 1 \ge 16{P^2} + 8P + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{59}}{4}{P^2} + 9P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 18 - 4\sqrt {35} }}{{59}} \le P \le \dfrac{{ - 18 + 4\sqrt {35} }}{{59}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \dfrac{{ - 18 + 4\sqrt {35} }}{{59}}\\m = \dfrac{{ - 18 - 4\sqrt {35} }}{{59}}\end{array} \right. \Rightarrow M + m = - \dfrac{{36}}{{59}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.