Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc với \(AB = 6a\), \(AC = 9a\), \(AD = 3a\).

Câu hỏi số 447952:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc với \(AB = 6a\), \(AC = 9a\), \(AD = 3a\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,\,\,ACD,\,\,ADB\). Thể tích của khối tứ diện \(AMNP\) bằng:

A. \(2{a^3}\)

B. \(4{a^3}\)

C. \(6{a^3}\)

D. \(8{a^3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:447952

Phương pháp giải

- Gọi \({M_1},\,\,{N_1},\,\,{P_1}\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CD,\,\,BD\), sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh \({V_{AMNP}}\) và \({V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}}\).

- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao \(A.{M_1}{N_1}{P_1}\) và \(A.BCD\), sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.

- Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD\), từ đó tính được \({V_{AMNP}}\).

Giải chi tiết

Gọi \({M_1},\,\,{N_1},\,\,{P_1}\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CD,\,\,BD\), ta có \(\dfrac{{AM}}{{A{M_1}}} = \dfrac{{AN}}{{A{N_1}}} = \dfrac{{AP}}{{A{P_1}}} = \dfrac{2}{3}\).

Khi đó \(\dfrac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}}}} = \dfrac{{AM}}{{A{M_1}}}.\dfrac{{AN}}{{A{N_1}}}.\dfrac{{AP}}{{A{P_1}}} = \dfrac{8}{{27}}\).

Dễ thấy \(\Delta {M_1}{N_1}{P_1}\) đồng dạng với tam giác \(DBC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) nên \(\dfrac{{{S_{{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{S_{DBC}}}} = \dfrac{1}{4}\).

Mà hai khối chóp \(A.{M_1}{N_1}{P_1}\) và \(A.BCD\) có dùng chiều cao nên \(\dfrac{{{V_{A.{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{{S_{{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{S_{DBC}}}} = \dfrac{1}{4}\).

Lại có \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}.6a.9a.3a = 27{a^3}\) \( \Rightarrow {V_{A.{M_1}{N_1}{P_1}}} = \dfrac{1}{4}{V_{ABCD}} = \dfrac{{27{a^3}}}{4}\).

Vậy \({V_{AMNP}} = \dfrac{8}{{27}}{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}} = \dfrac{8}{{27}}.\dfrac{{27{a^3}}}{4} = 2{a^3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.