Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\sin ^6}2x + {\cos ^6}2x\) là:

Câu hỏi số 448514:

Vận dụng

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(1\)

C. \(\sqrt 2 \)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:448514

Phương pháp giải

- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\).

- Sử dụng tính chất: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\forall \alpha \).

- Sử dụng công thức nhân đôi \(2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).

- Sử dụng tính chất \( - 1 \le \sin \alpha \le 1\,\,\forall \alpha \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = {\sin ^6}2x + {\cos ^6}2x\\y = {\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}2x} \right)^3}\\y = {\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)^3} - 3{\sin ^2}2x{\cos ^2}2x\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\y = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}4x\end{array}\)

Ta có: \(0 \le {\sin ^2}4x \le 1\,\,\forall x\) nên \(0 \ge - \frac{3}{4}{\sin ^2}4x \ge - \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow 1 \ge 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}4x \ge \frac{1}{4}\,\,\forall x\).

Vậy \(\max y = 1\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\sin ^2}4x = 0 \Leftrightarrow \sin 4x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.