Cho phương trình \(\sqrt[3]{{{{\left( {\sin 2019x + m} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{\sin }^2}2019x - {m^2}}} =

Câu hỏi số 448515:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\sqrt[3]{{{{\left( {\sin 2019x + m} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{\sin }^2}2019x - {m^2}}} = 2\sqrt[3]{{{{\left( {\sin 2019x - m} \right)}^2}}}\). Gọi \(S = \left[ {a;b} \right]\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình trên có nghiệm. Tính giá trị của \(P = {a^2} + {b^2}\).

A. \(\frac{7}{9}\)

B. \(\frac{{11}}{{18}}\)

C. \(\frac{5}{{18}}\)

D. \(\frac{9}{{18}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:448515

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{\sin 2019x + m}}\\v = \sqrt[3]{{\sin 2019x - m}}\end{array} \right.\), tính \(\sqrt[3]{{{{\sin }^2}2019x - {m^2}}}\) theo \(u,\,\,v\).

- Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm \(u\) theo \(v\) hoặc ngược lại.

- Thế ngược lại, đưa phương trình về dạng \(\sin 2019x = m\), tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết

\(\sqrt[3]{{{{\left( {\sin 2019x + m} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{\sin }^2}2019x - {m^2}}} = 2\sqrt[3]{{{{\left( {\sin 2019x - m} \right)}^2}}}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{\sin 2019x + m}}\\v = \sqrt[3]{{\sin 2019x - m}}\end{array} \right.\) ta có \(uv = \sqrt[3]{{{{\sin }^2}2019x - {m^2}}}\), khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{u^2} + uv = 2{v^2}\\ \Leftrightarrow {u^2} - uv + 2uv - 2{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow u\left( {u - v} \right) + 2v\left( {u - v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {u + 2v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v\\u = - 2v\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(u = v \Rightarrow \sin 2019x + m = \sin 2019x - m \Leftrightarrow m = 0\). Khi đó phương trình có vô số nghiệm (thỏa mãn).

TH2: \(u = - 2v \Rightarrow \sqrt[3]{{\sin 2019x + m}} = - 2\left( {\sqrt[3]{{\sin 2019x - m}}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin 2019x + m = - 8\left( {\sin 2019x - m} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 2019x + m = - 8\sin 2019x + 8m\\ \Leftrightarrow 9\sin 2019x = 7m\\ \Leftrightarrow \sin 2019x = \frac{{7m}}{9}\end{array}\)

Để phương trình trên có nghiệm thì \( - 1 \le \frac{{9m}}{9} \le 1 \Leftrightarrow - \frac{9}{7} \le m \le \frac{9}{7}\).

Kết hợp 2 TH ta có \(m \in \left[ { - \frac{9}{7};\frac{9}{7}} \right] \Rightarrow a = - \frac{9}{7},\,\,b = \frac{9}{7}\).

Vậy \(P = {a^2} + {b^2} = {\left( { - \frac{9}{7}} \right)^2} + {\left( {\frac{9}{7}} \right)^2} = \frac{{162}}{{81}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.