Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\). Hình chiếu của

Câu hỏi số 448904:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\). Hình chiếu của điểm \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Mặt bên \(\left( {AA'C'C} \right)\) tạo với đáy một góc bằng \({45^0}\). Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

A. \(V = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

B. \(V = \dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

C. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)

D. \(V = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:448904

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tính chất đường trung bình và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.

- Tính thể tích theo công thức \(V = Sh\), trong đó \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao tương ứng.

Giải chi tiết

Gọi \(H,M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC,AM\).

Ta có: \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow A'H \bot AC\).

Lại có \(BM \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) đều), \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(ABM\) nên \(HN//BM\).

\( \Rightarrow HN \bot AC\) \( \Rightarrow AC \bot \left( {A'NH} \right) \Rightarrow AC \bot A'N\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\HN \subset \left( {ABC} \right),\,\,HN \bot AC\\A'N \subset \left( {ACC'A'} \right);\,\,A'N \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {AA'C'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'N;HN} \right) = \angle A'NH = {45^0}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HN = \dfrac{{BM}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(A'HN\) có: \(A'H = HN\tan {45^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.